Dentre 10 pessoas que estão na sala de espera de um médico, 3 praticam alguma atividade física. Duas pessoas são selecionadas aleatoriamente, uma após a outra sem reposição, para serem atendidas gratuitamente. Determine:
c) a probabilidade de que a primeira pessoa escolhida pratique atividade física, sabendo que a segunda pessoa a ser escolhida não pratica atividade física.
c) a probabilidade de que a primeira pessoa escolhida pratique atividade física, sabendo que a segunda pessoa a ser escolhida não pratica atividade física.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos conta que há 10 pessoas na sala de espera de um médico, das quais 3 praticam alguma atividade física. A gente vai selecionar duas pessoas aleatoriamente, uma após a outra, sem colocar de volta na sala (isso se chama sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de que a primeira pessoa escolhida pratique atividade física, sabendo que a segunda pessoa escolhida não pratica atividade física.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional, que é basicamente calcular a chance de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Precisaremos também entender um pouco sobre permutações e combinações sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos para facilitar:
- A: A primeira pessoa escolhida pratica atividade física.
- B: A segunda pessoa escolhida não pratica atividade física.
Queremos descobrir
, que é a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu.
Passo 3
A fórmula da probabilidade condicional é:
Ou seja, a probabilidade de A e B acontecerem juntas dividida pela probabilidade de B acontecer.
Passo 4
Vamos calcular
, que é a probabilidade de a primeira pessoa praticar atividade física e a segunda não praticar.
- A primeira pessoa pratica atividade física: Temos 3 pessoas que praticam atividade física em um total de 10. Então,
- Depois de escolher a primeira pessoa que pratica atividade física, restam 9 pessoas, das quais 7 não praticam atividade física (porque originalmente eram 10, 3 praticam, então 7 não praticam; já tiramos uma que pratica).
Então,
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a probabilidade de a segunda pessoa não praticar atividade física, independentemente de quem foi a primeira escolhida.
Existem duas possibilidades para B acontecer:
- A primeira pessoa pratica atividade física e a segunda não pratica.
- A primeira pessoa não pratica atividade física e a segunda também não pratica.
Já calculamos a primeira parte (
).
Vamos calcular a segunda parte:
- A primeira pessoa não pratica atividade física: 7 pessoas não praticam em 10, então,
- Depois, restam 9 pessoas, das quais 6 não praticam atividade física.
Então,
Portanto,
Agora, somamos as duas partes para obter
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos usar a fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de que a primeira pessoa escolhida pratique atividade física, sabendo que a segunda pessoa escolhida não pratica atividade física, é de
ou aproximadamente 33,33%.
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