Dentre 10 pessoas que estão na sala de espera de um médico, 3 praticam alguma atividade física. Duas pessoas são selecionadas aleatoriamente, uma após a outra sem reposição, para serem atendidas gratuitamente. Determine:
c) a probabilidade de que a primeira pessoa escolhida pratique atividade física, sabendo que a segunda pessoa a ser escolhida não pratica atividade física.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos conta que há 10 pessoas na sala de espera de um médico, das quais 3 praticam alguma atividade física. A gente vai selecionar duas pessoas aleatoriamente, uma após a outra, sem colocar de volta na sala (isso se chama sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de que a primeira pessoa escolhida pratique atividade física, sabendo que a segunda pessoa escolhida não pratica atividade física.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional, que é basicamente calcular a chance de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Precisaremos também entender um pouco sobre permutações e combinações sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos para facilitar:
  • A: A primeira pessoa escolhida pratica atividade física.
  • B: A segunda pessoa escolhida não pratica atividade física.
Queremos descobrir , que é a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu.

Passo 3

A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Ou seja, a probabilidade de A e B acontecerem juntas dividida pela probabilidade de B acontecer.

Passo 4

Vamos calcular P(A) = 310 , que é a probabilidade de a primeira pessoa praticar atividade física e a segunda não praticar.
  • A primeira pessoa pratica atividade física: Temos 3 pessoas que praticam atividade física em um total de 10. Então,
P(B mid A) = 79
  • Depois de escolher a primeira pessoa que pratica atividade física, restam 9 pessoas, das quais 7 não praticam atividade física (porque originalmente eram 10, 3 praticam, então 7 não praticam; já tiramos uma que pratica).
Então,
P(A cap B) = P(A) times P(B mid A) = 310 times 79 = 2190
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular P(não A) = 710 , a probabilidade de a segunda pessoa não praticar atividade física, independentemente de quem foi a primeira escolhida.
Existem duas possibilidades para B acontecer:
  1. A primeira pessoa pratica atividade física e a segunda não pratica.
  2. A primeira pessoa não pratica atividade física e a segunda também não pratica.
Já calculamos a primeira parte ( P(B mid não A) = 69 = 23 ).
Vamos calcular a segunda parte:
  • A primeira pessoa não pratica atividade física: 7 pessoas não praticam em 10, então,
P(não A cap B) = 710 times 23 = 1430 = 715 ã
  • Depois, restam 9 pessoas, das quais 6 não praticam atividade física.
Então,
P(B) = 2190 + 715 = 2190 + 4290 = 6390 = 710 ã
Portanto,
ã
Agora, somamos as duas partes para obter :

Passo 6

Agora que temos P(A mid B) = P(A cap B)P(B) = 2190710 = 2190 times 107 = 21 times 1090 times 7 = 210630 = 13 e , podemos usar a fórmula da probabilidade condicional:

Resposta

A probabilidade de que a primeira pessoa escolhida pratique atividade física, sabendo que a segunda pessoa escolhida não pratica atividade física, é de ou aproximadamente 33,33%.

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