Um estudante construiu um termômetro graduado em uma escala X de modo que, ao nível do mar, ele marca, para o ponto de fusão da água, 200 °X e, para o ponto de ebulição da água, 400 °X.
a) Obtenha a equação de conversão entre a escala X e a escala Celsius.
b) Determine a indicação de um termômetro graduado na escala X para o zero absoluto.
a) Obtenha a equação de conversão entre a escala X e a escala Celsius.
b) Determine a indicação de um termômetro graduado na escala X para o zero absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um termômetro com uma escala X. Ele marca 200 °X para o ponto de fusão da água (0 °C) e 400 °X para o ponto de ebulição da água (100 °C). Vamos usar isso para encontrar a relação entre a escala X e a escala Celsius. Para isso, vamos precisar de conceitos básicos de proporcionalidade e equações lineares.
Passo 2
Primeiro, entendamos que a relação entre as duas escalas (X e Celsius) é linear. Isso significa que podemos escrever a equação na forma:
onde $ T_C $ é a temperatura em Celsius, $ T_X $ é a temperatura na escala X, e $ a $ e $ b $ são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Sabemos duas coisas:
- Quando $ T_X = 200 $ °X, $ T_C = 0 $ °C (ponto de fusão da água).
- Quando $ T_X = 400 $ °X, $ T_C = 100 $ °C (ponto de ebulição da água).
Vamos usar essas informações para criar um sistema de equações e encontrar $ a $ e $ b $.
Passo 4
Primeira equação usando o ponto de fusão:
Segunda equação usando o ponto de ebulição:
Passo 5
Agora, resolvemos o sistema de equações. Da primeira equação:
Substituímos $ b $ na segunda equação:
Agora, encontramos $ b $:
Passo 6
Com os valores de $ a $ e $ b $, a equação de conversão fica:
Passo 7
Para facilitar, podemos também encontrar a equação inversa, de Celsius para X. Mas como a questão pede apenas a conversão de X para Celsius, deixamos assim.
Passo 8
Agora, para a parte b), queremos saber qual é a indicação de zero absoluto na escala X. Sabemos que zero absoluto é -273,15 °C.
Usamos a equação que encontramos para descobrir $ T_X $ correspondente a $ T_C = -273,15 $.
Passo 9
Substituímos na equação:
Resolvemos para $ T_X $:
Resposta
a) A equação de conversão entre a escala X e a escala Celsius é:
b) A indicação do zero absoluto na escala X é: