Um estudante construiu um termômetro graduado em uma escala X de modo que, ao nível do mar, ele marca, para o ponto de fusão da água, 200 °X e, para o ponto de ebulição da água, 400 °X.
a) Obtenha a equação de conversão entre a escala X e a escala Celsius.
b) Determine a indicação de um termômetro graduado na escala X para o zero absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um termômetro com uma escala X. Ele marca 200 °X para o ponto de fusão da água (0 °C) e 400 °X para o ponto de ebulição da água (100 °C). Vamos usar isso para encontrar a relação entre a escala X e a escala Celsius. Para isso, vamos precisar de conceitos básicos de proporcionalidade e equações lineares.

Passo 2

Primeiro, entendamos que a relação entre as duas escalas (X e Celsius) é linear. Isso significa que podemos escrever a equação na forma:
TC = a cdot TX + b
onde $ T_C $ é a temperatura em Celsius, $ T_X $ é a temperatura na escala X, e $ a $ e $ b $ são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Sabemos duas coisas:
  1. Quando $ T_X = 200 $ °X, $ T_C = 0 $ °C (ponto de fusão da água).
  2. Quando $ T_X = 400 $ °X, $ T_C = 100 $ °C (ponto de ebulição da água).
Vamos usar essas informações para criar um sistema de equações e encontrar $ a $ e $ b $.

Passo 4

Primeira equação usando o ponto de fusão:
0 = a cdot 200 + b
Segunda equação usando o ponto de ebulição:
100 = a cdot 400 + b

Passo 5

Agora, resolvemos o sistema de equações. Da primeira equação:
b = -200a
Substituímos $ b $ na segunda equação:
b
100 = 400a - 200a
100 = 200a
a = 100200
Agora, encontramos $ b $:
a = 0,5
b

Passo 6

Com os valores de $ a $ e $ b $, a equação de conversão fica:
a

Passo 7

Para facilitar, podemos também encontrar a equação inversa, de Celsius para X. Mas como a questão pede apenas a conversão de X para Celsius, deixamos assim.

Passo 8

Agora, para a parte b), queremos saber qual é a indicação de zero absoluto na escala X. Sabemos que zero absoluto é -273,15 °C.
Usamos a equação que encontramos para descobrir $ T_X $ correspondente a $ T_C = -273,15 $.

Passo 9

Substituímos na equação:
-273,15 = 0,5 cdot TX - 100
Resolvemos para $ T_X $:
TX
0,5 cdot TX = -273,15 + 100
0,5 cdot TX = -173,15
TX = -173,150,5

Resposta

a) A equação de conversão entre a escala X e a escala Celsius é:
TC = 0,5 cdot TX - 100
b) A indicação do zero absoluto na escala X é:
-346,3 , °X

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