Um estudante deseja projetar um filtro de velocidades que funcione com partículas carregadas em movimento. Para isso, ele precisa que a força magnética que atua sobre as partículas seja igual à força elétrica, para que não haja desvios em suas trajetórias. Qual das seguintes alternativas representa corretamente a relação entre a velocidade das partículas (v), a intensidade do campo elétrico (e) e a intensidade do campo magnético (b) que o estudante deve utilizar em seu filtro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um estudante que quer criar um filtro de velocidades para partículas carregadas em movimento. Ele quer que a força magnética em cima das partículas seja igual à força elétrica, para que as partículas não mudem de trajetória. Vamos precisar dos conceitos de força magnética e força elétrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas para as forças envolvidas. A força elétrica ($ \vec{F}_e $) que atua sobre uma partícula carregada é dada por:
onde $ q $ é a carga da partícula e $ \vec{E} $ é o campo elétrico.
Já a força magnética ($ \vec{F}_m $) é dada por:
onde $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula e $ \vec{B} $ é o campo magnético.
Passo 3
Como queremos que as duas forças sejam iguais para que a partícula não desvie, temos:
Substituindo as fórmulas das forças:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $ q $ (desde que $ q \neq 0 $):
Isso quer dizer que o campo elétrico é igual ao produto vetorial da velocidade pela intensidade do campo magnético.
Passo 5
Vamos considerar que a velocidade $ \vec{v} $ e o campo magnético $ \vec{B} $ são perpendiculares entre si para simplificar (o que maximiza o produto vetorial). Nesse caso, o módulo do produto vetorial é:
Isso transforma a equação em:
Passo 6
Agora, queremos isolar a velocidade $ v $ para encontrar a relação entre $ v $, $ E $ e $ B $:
Resposta
A relação correta é: