Os estudantes participantes de uma competição de engenharia usam um canhão de ar comprimido para disparar uma bola sobre um caixote que está sendo elevado a 10 m / s por um guindaste. O canhão, inclinado para cima em 30^circ, encontra-se a 100 m do caixote e é disparado por controle remoto no exato instante em que o caixote deixa o solo. Os estudantes podem controlar a rapidez do lançamento da bola ajustando a pressão do ar. Que rapidez de lançamento os estudantes deveriam usar a fim de que a bola atinja o caixote?
R.: 45 m / s
Física I - 20242- Prof. Maria Simone

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um grupo de estudantes que estão participando de uma competição de engenharia. Eles têm um canhão de ar comprimido que vai disparar uma bola para alcançar um caixote que está sendo levantado por um guindaste a uma velocidade de 10 m/s. O canhão está inclinado a 30^circ e está a 100 metros de distância do caixote. O lance é descobrir com que velocidade eles devem disparar a bola para que ela acerte o caixote. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento de projéteis e equações de movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama mental da situação. Imagine o canhão posicionado no chão, a 100 metros de distância do ponto onde o caixote começa a ser levantado. O canhão está inclinado a 30^circ em relação ao solo. No instante em que o caixote começa a subir, o canhão dispara a bola. Precisamos ajustar a velocidade de lançamento da bola para que, no mesmo instante em que a bola chega ao caixote horizontalmente, o caixote já tenha subido a uma certa altura.

Passo 3

Vamos separar o movimento da bola nas direções horizontal e vertical.
  • Movimento Horizontal (x):
    A bola é lançada a uma velocidade v0 com um ângulo de 30^circ. A componente horizontal da velocidade é v0x = v0 cos(30^circ).
  • Movimento Vertical (y):
    A componente vertical da velocidade é v0y = v0 sin(30^circ). Além disso, a bola está sujeita à aceleração da gravidade g = 9,8 m/s^2 para baixo.

Passo 4

Vamos calcular o tempo que a bola leva para percorrer os 100 metros horizontalmente até o caixote. Usando a equação do movimento uniforme:
x = v0x cdot t
Onde:
  • x = 100 m
  • v0x = v0 cos(30^circ)
Rearranjando para encontrar o tempo t:
t = xv0 cos(30^circ)
Paralelamente, o caixote está subindo a uma velocidade constante de 10 m/s, então a posição vertical do caixote após o tempo t é:
ycaixote = 10 cdot t
Para que a bola atinja o caixote, a posição vertical da bola no tempo t deve ser igual à posição vertical do caixote. A posição vertical da bola é dada por:
ybola = v0y cdot t - 12 g t^2
Igualando as posições:
10 cdot t = v0 sin(30^circ) cdot t - 12 g t^2

Passo 5

Vamos resolver a equação para v0:
Primeiro, simplificamos dividindo ambos os lados por t (considerando t neq 0):
10 = v0 sin(30^circ) - 12 g t
Da equação do tempo:
t = 100v0 cos(30^circ)
Substituindo t na equação anterior:
10 = v0 sin(30^circ) - 12 g ( 100v0 cos(30^circ) )
Multiplicando tudo por v0 cos(30^circ) para eliminar o denominador:
10 v0 cos(30^circ) = v0^2 sin(30^circ) cos(30^circ) - 12 g cdot 100
Sabemos que sin(30^circ) = 0,5 e cos(30^circ) approx 0,8660. Substituindo:
10 v0 cdot 0,8660 = v0^2 cdot 0,5 cdot 0,8660 - 49 cdot 100
Simplificando:
8,66 v0 = 0,433 v0^2 - 4900
Rearranjando a equação quadrática:
0,433 v0^2 - 8,66 v0 - 4900 = 0
Multiplicando todos os termos por 1000 para eliminar os decimais:
433 v0^2 - 8660 v0 - 4900000 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
v0 = 8660 pm raiz8660^2 + 4 cdot 433 cdot 49000002 cdot 433
Calculando o discriminante:
De
A raiz positiva nos dará a solução física:
v0 approx 45 m/s

Resposta

Os estudantes devem disparar a bola com uma rapidez de aproximadamente 45 m/s para que ela atinja o caixote.

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