Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
integral1^e[integralln (y)^y f(x, y) d x] d y

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma integral dupla dada por:
integral1^e[integralln (y)^y f(x, y) , dx] , dy
A tarefa é inverter a ordem de integração dessa integral dupla e também calcular a área da região de integração. Vamos precisar entender como essas integrais funcionam e como identificar os limites das variáveis e para fazer essa inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está escrita na ordem , o que significa que para cada valor de entre 1 e , varia de até . Para inverter a ordem, precisamos reescrever a integral na forma .
Vamos desenhar essa região no plano para visualizar melhor. Temos:
  • varia de 1 a .
  • Para cada , vai de até .
Isso significa que a região está limitada pelas curvas e , entre e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os novos limites para em termos de ao inverter a ordem de integração. Precisamos expressar em função de .
Observando os limites originais:
  • A curva inferior é .
  • A curva superior é .
Então, para um dado , varia de até .
Também precisamos determinar os limites para . Olhando os limites de , de 1 a , e sabendo que , podemos encontrar os limites para :
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, varia de 0 a 1.

Passo 4

Com esses novos limites, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
integral0^1 [ integralx^e^x f(x, y) , dy ] , dx
Isso inverte a ordem de integração mantendo a mesma região de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região de integração. Para isso, assumimos que Área = integral0^1 [ integralx^e^x 1 , dy ] , dx , já que a área é simplesmente a integral dupla de 1 sobre a região.
Usando a integral com a ordem de integração invertida:
integralx^e^x 1 , dy = e^x - x Á
Primeiro, resolvemos a integral interna:
Área = integral0^1 (e^x - x) , dx
Agora, substituímos na integral externa:
integral0^1 e^x , dx = e^1 - e^0 = e - 1 Á
Integrando termo a termo:
integral0^1 x , dx = 1^22 - 0^22 = 12
Área = (e - 1) - 12 = e - 32
Subtraindo os resultados:
Á

Resposta

A área da região de integração é .

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