Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma integral dupla dada por:
A tarefa é inverter a ordem de integração dessa integral dupla e também calcular a área da região de integração. Vamos precisar entender como essas integrais funcionam e como identificar os limites das variáveis
e
para fazer essa inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está escrita na ordem
, o que significa que para cada valor de
entre 1 e
,
varia de
até
. Para inverter a ordem, precisamos reescrever a integral na forma
.
Vamos desenhar essa região no plano
para visualizar melhor. Temos:
-
varia de 1 a . - Para cada
, vai de até .
Isso significa que a região está limitada pelas curvas
e
, entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os novos limites para
em termos de
ao inverter a ordem de integração. Precisamos expressar
em função de
.
Observando os limites originais:
- A curva inferior é
. - A curva superior é
.
Então, para um dado
,
varia de
até
.
Também precisamos determinar os limites para
. Olhando os limites de
, de 1 a
, e sabendo que
, podemos encontrar os limites para
:
- Quando
, . - Quando
, .
Então,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
Isso inverte a ordem de integração mantendo a mesma região de integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região de integração. Para isso, assumimos que
, já que a área é simplesmente a integral dupla de 1 sobre a região.
Usando a integral com a ordem de integração invertida:
Primeiro, resolvemos a integral interna:
Agora, substituímos na integral externa:
Integrando termo a termo:
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área da região de integração é
.
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Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
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Estude a diferenciabilidade das funções dadas.