Estude o sinal de para .

Passo 1

Beleza, vamos estudar o sinal da função no intervalo de . Isso envolve entender onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente e depois combiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador, que é . Sabemos que o seno de x varia entre -1 e 1 e muda de sinal dependendo do intervalo de x. No intervalo de a , o seno é positivo quando e negativo quando .

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador, que é . Esse é um polinômio de primeiro grau, e seu sinal depende do valor de x em relação a 1.
  • Quando , é negativo.
  • Quando , é positivo.
  • Em , o denominador é zero, mas a função não está definida nesse ponto.

Passo 4

Com as informações dos passos anteriores, vamos determinar o sinal de dividindo o intervalo de a em partes baseadas nos pontos onde o numerador ou denominador mudam de sinal, que são , , e .

Passo 5

Vamos analisar cada intervalo:
  1. :
    • Então, (negativo)
  2. :
    • Então, (positivo)
  3. :
    • Então, (negativo)

Passo 6

Além disso, em , a função não está definida, então há uma assíntota vertical nesse ponto. Em e , o seno é zero, então nesses pontos.

Resposta

No intervalo , a função é:
  • Negativa para
  • Positiva para
  • Negativa para
Além disso, em e , e a função não está definida em .

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