Para o estudo de binômios, é sempre muito útil observarmos as relações do triângulo de Pascal, pois, dessa forma, podemos determinar qualquer coeficiente do desenvolvimento. Sabendo que a soma das linhas do triângulo de Pascal segue sempre o mesmo padrão, podemos calcular rapidamente a soma:
C8^1+C8^2+C8^3+C8^4+C8^5+C8^6+C8^7
a) 510
b) 254
c) 126
d) 62
e) 30

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a soma dos coeficientes binomiais da linha 8 do triângulo de Pascal, especificamente:
C8^1+C8^2+C8^3+C8^4+C8^5+C8^6+C8^7
Para isso, vamos usar os conceitos de coeficientes binomiais e as propriedades do triângulo de Pascal.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a soma de todos os coeficientes binomiais de uma linha sumk=0^n Cn^k = 2^n do triângulo de Pascal é igual a sumk=0^8 C8^k = 2^8 = 256 . Ou seja:
No nosso caso, , então:

Passo 3

No enunciado, a soma começa de C8^0 = C8^8 = 1 até sumk=1^7 C8^k = sumk=0^8 C8^k - C8^0 - C8^8 = 256 - 1 - 1 = 254 . Isso significa que não estamos incluindo e . Sabemos que:
Portanto, a soma que queremos é:

Resposta

A soma dos coeficientes binomiais é 254, correspondendo à alternativa b).

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