A variável aleatória
tem função de densidade expressa por
Determine:
b)
b)
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos uma variável aleatória conjunta
com a função de densidade definida por:
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com densidades de probabilidades conjuntas e condicionais.
O que Precisamos para Resolver: Precisamos calcular a densidade condicional de
dado que
está no intervalo
, ou seja,
.
Passo 2
Entendendo a Densidade Condicional: A densidade condicional
, onde
é um evento, é dada por:
No nosso caso,
é o evento
. Assim:
Passo 3
Calculando a Probabilidade
: Para encontrar
, integramos a função de densidade conjunta sobre os valores de
e
que satisfazem
e
.
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a
x :
Passo 4
Calculando a Densidade Condicional
f(y mid 1 < x < 1,5) : Agora que temos
P(1 < x < 1,5) , podemos encontrar a densidade condicional.
A densidade condicional é proporcional à função de densidade conjunta dentro do intervalo dado. Assim:
Substituindo os valores:
Observação: A densidade condicional deve integrar para 1 sobre seu domínio. Vamos verificar:
Tudo está correto.
Resposta
A densidade condicional
f(y mid 1 < x < 1,5) é constante e igual a
1,6 para
0 < y < x com
1 < x < 1,5 .