A variável aleatória (X tem função de densidade expressa por
f(x, y)=cc 2 / 3 & 1á
Determine:
b) f(y / x in(1 ; 1,5))

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma variável aleatória conjunta (X, Y) com a função de densidade definida por:
f(x, y) = 23 & se 1 < x < 2 e 0 < y < x, 0 & caso contrário á
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com densidades de probabilidades conjuntas e condicionais.
O que Precisamos para Resolver: Precisamos calcular a densidade condicional de Y dado que X está no intervalo (1, 1,5), ou seja, f(y mid 1 < x < 1,5).

Passo 2

Entendendo a Densidade Condicional: A densidade condicional f(y mid A), onde A é um evento, é dada por:
f(y mid A) = f(y, A)P(A)
No nosso caso, A é o evento 1 < x < 1,5. Assim:
f(y mid 1 < x < 1,5) = f(x, y mid 1 < x < 1,5)P(1 < x < 1,5)

Passo 3

Calculando a Probabilidade P(1 < x < 1,5): Para encontrar P(1 < x < 1,5), integramos a função de densidade conjunta sobre os valores de x e y que satisfazem 1 < x < 1,5 e 0 < y < x.
P(1 < x < 1,5) = integral1^1,5 integral0^x 23 , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^x 23 , dy = 23 cdot y g|0^x = 23x
Agora, integramos em relação a x:
integral1^1,5 23x , dx = 23 cdot x^22 g|1^1,5 = 13 ( (1,5)^2 - 1^2 ) = 13 (2,25 - 1) = 13 cdot 1,25 = 1,253 approx 0,4167

Passo 4

Calculando a Densidade Condicional f(y mid 1 < x < 1,5): Agora que temos P(1 < x < 1,5), podemos encontrar a densidade condicional.
A densidade condicional é proporcional à função de densidade conjunta dentro do intervalo dado. Assim:
f(y mid 1 < x < 1,5) = f(x, y)P(1 < x < 1,5) para 1 < x < 1,5 e 0 < y < x
Substituindo os valores:
f(y mid 1 < x < 1,5) = 231,253 = 21,25 = 1,6
Observação: A densidade condicional deve integrar para 1 sobre seu domínio. Vamos verificar:
integral1^1,5 integral0^x 1,6 , dy , dx = 1,6 cdot integral1^1,5 x , dx = 1,6 cdot ( x^22 g|1^1,5 ) = 1,6 cdot 1,252 = 1,6 cdot 0,625 = 1
Tudo está correto.

Resposta

A densidade condicional f(y mid 1 < x < 1,5) é constante e igual a 1,6 para 0 < y < x com 1 < x < 1,5.
f(y mid 1 < x < 1,5) = 1,6 para 0 < y < x e 1 < x < 1,5

Exercícios relacionados