Um binômio de Newton é uma expressão matemática que pode ser escrita da seguinte maneira:
(x+y)^n=sump=0^nbinomnp cdot x^n-p cdot y^p
Dessa forma, pode-se afirmar que o binômio (4 x+2 y)^5 pode ser escrito por:
a) sump=0^5binom5p cdot 4^p cdot x^5-p cdot y^p
b) sump=0^5binom5p cdot 2^10 p cdot x^5-p cdot y^p
c) sump=0^5binom5p cdot 2^10-2 p cdot x^5-p cdot y^p
d) sump=0^5binom5p cdot 2^10-p cdot x^5-p cdot y^p
e) sump=0^5binom5p cdot 2^p cdot x^5-p cdot y^p

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Binômio de Newton, que é uma maneira de expandir expressões do tipo (x + y)^n. Pra isso, a gente vai usar a fórmula:
(x+y)^n=sump=0^nbinomnp cdot x^n-p cdot y^p
Aqui, binomnp é o coeficiente binomial, que calcula combinações. No nosso caso, temos o binômio (4x + 2y)^5, então vamos aplicar essa fórmula para encontrar a expressão correta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de x, y e n na expressão que a gente tem:
  • x = 4x (sim, tem um “x” ali dentro também!)
  • y = 2y
  • n = 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do teorema do binômio.

Passo 3

Aplicando a fórmula, ficamos com:
(4x + 2y)^5 = sump=0^5 binom5p cdot (4x)^5-p cdot (2y)^p
Agora, vamos simplificar cada parte dessa expressão.

Passo 4

Vamos simplificar (4x)^5-p e (2y)^p separadamente:
  • (4x)^5-p = 4^5-p cdot x^5-p
  • (2y)^p = 2^p cdot y^p
Substituindo de volta na expressão, temos:
sump=0^5 binom5p cdot 4^5-p cdot x^5-p cdot 2^p cdot y^p

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos com as potências de 4 e 2:
4^5-p cdot 2^p = (2^2)^5-p cdot 2^p = 2^2(5-p) cdot 2^p = 2^10 - 2p cdot 2^p = 2^10 - p
Portanto, a expressão fica:
sump=0^5 binom5p cdot 2^10 - p cdot x^5-p cdot y^p

Resposta

A expressão correta é a letra d):
sump=0^5binom5p cdot 2^10-p cdot x^5-p cdot y^p

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