Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha financiado um estudo dos gastos com mercadoria para famílias de 4 pessoas. A investigação se limitou a famílias com renda líquida entre
e
. Obteve-se a seguinte equação:
em que:
despesa anual estimada com mercadorias e
renda líquida anual. Suponha que a equação proporcione um ajustamento razoavelmente bom.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma situação envolvendo uma cadeia de supermercados que fez um estudo sobre os gastos anuais com mercadorias de famílias de 4 pessoas. Esse estudo considerou famílias com renda líquida anual entre R$ 8.000 e R$ 20.000. Eles usaram uma equação de regressão para estimar esses gastos:
onde:
- $ Y $ é a despesa anual estimada com mercadorias,
- $ X $ é a renda líquida anual.
A equação ajusta bem os dados, ou seja, ela representa de maneira razoável como a renda está relacionada aos gastos. Para resolver qualquer questão relacionada a essa equação, vamos precisar entender conceitos básicos de regressão linear, como interpretar os coeficientes e fazer previsões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação significa. Na regressão linear simples, temos a forma:
onde:
- $ \hat{y} $ é o valor estimado de Y,
- $ a $ é o termo constante (intercepto),
- $ b $ é o coeficiente angular (inclinação),
- $ x $ é a variável independente.
No nosso caso:
-
O intercepto $ a = -200 $: Isso significa que, se a renda líquida anual $ x $ fosse R$ 0, a despesa estimada com mercadorias seria de R$ -200. Claro que, na prática, uma renda de R$ 0 não faz sentido, e esse valor negativo indica que o modelo não é aplicável para rendas muito baixas fora do intervalo estudado.
-
O coeficiente $ b = 0,10 $: Isso indica que, para cada aumento de R$ 1 na renda líquida anual, a despesa estimada com mercadorias aumenta em R$ 0,10. Em outras palavras, a renda está positivamente relacionada aos gastos com mercadorias.
Passo 3
Agora, vamos supor que queremos estimar a despesa com mercadorias para uma família que tem uma renda líquida anual de R$ 15.000. Para isso, usamos a equação de regressão:
Vamos calcular passo a passo:
-
Multiplicamos o coeficiente angular pela renda:$ 0,10 \times 15.000 = 1.500 $
-
Somamos o intercepto:$ -200 + 1.500 = 1.300 $
Então, a despesa anual estimada com mercadorias para essa família seria de R$ 1.300.
Passo 4
Outra coisa interessante é entender até onde a nossa equação é válida. Como mencionamos no primeiro passo, o estudo considerou famílias com renda entre R$ 8.000 e R$ 20.000. Portanto, nossas previsões com essa equação são confiáveis apenas dentro desse intervalo de renda. Fora dele, o modelo pode não representar bem a realidade.
Resposta
A despesa anual estimada com mercadorias para uma família com renda líquida anual de R$ 15.000 é de R$ 1.300.