Em um estudo de planejamento pedagógico de uma universidade sobre as disciplinas de Estatística, observou-se que as notas médias finais dos alunos se distribuem segundo uma distribuição Normal com média de 6,4 e desvio padrão de 0,8 . Calcule:
a) a probabilidade de notas maiores do que 7,0 , ou seja, dos alunos serem aprovados diretamente?
b) a probabilidade de notas entre maiores do que 4,0 e menores do que 7,0 , ou seja, dos alunos irem para Exame?
c) a probabilidade de notas entre menores do que 4,0 , ou seja, dos alunos serem reprovados diretamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Estatística, especificamente sobre Distribuição Normal. Sabemos que as notas médias dos alunos seguem essa distribuição com média (μ) de 6,4 e desvio padrão (σ) de 0,8. O que a gente vai precisar é calcular probabilidades para diferentes intervalos de notas usando a distribuição normal. Vamos resolver as três partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Primeiro, para calcular essas probabilidades, a gente vai usar o conceito de escore z. O escore z nos ajuda a padronizar qualquer valor da distribuição normal para entender onde ele está em relação à média. A fórmula para calcular o z é:
z = X - musigma
onde:
  • é o valor da nota que estamos analisando,
  • é a média,
  • é o desvio padrão.

Passo 3

Vamos resolver a parte a): a probabilidade de notas maiores que 7,0, ou seja, alunos aprovados diretamente.
Primeiro, calculamos o escore z para z = 7,0 - 6,40,8 = 0,60,8 = 0,75 :
P(X > 7,0) = 1 - P(Z <= 0,75)
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a P(X > 7,0) = 1 - 0,7734 = 0,2266 . A tabela nos dá a probabilidade acumulada até esse z, mas como queremos a probabilidade de ser maior que 7,0, vamos calcular:
Consultando a tabela, é aproximadamente 0,7734. Então:

Passo 4

Resposta da parte a): A probabilidade de um aluno ter nota maior que 7,0 e ser aprovado diretamente é de aproximadamente 22,66%.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): a probabilidade de notas entre 4,0 e 7,0, ou seja, alunos que vão para o exame.
Primeiro, calculamos os escores z para z1 = 4,0 - 6,40,8 = -2,40,8 = -3,0 e z2 = 7,0 - 6,40,8 = 0,75 :
P(Z <= -3,0) ) é aproximadamente 0,0013
P(Z <= 0,75) ) é aproximadamente 0,7734
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes a esses z:
A probabilidade entre 4,0 e 7,0 é:
P(4,0 < X < 7,0) = P(Z <= 0,75) - P(Z <= -3,0) = 0,7734 - 0,0013 = 0,7721

Passo 6

Resposta da parte b): A probabilidade de um aluno ter nota entre 4,0 e 7,0 e ir para o exame é de aproximadamente 77,21%.

Passo 7

Por último, a parte c): a probabilidade de notas menores que 4,0, ou seja, alunos reprovados diretamente.
Já calculamos que .

Passo 8

Resposta da parte c): A probabilidade de um aluno ter nota menor que 4,0 e ser reprovado diretamente é de aproximadamente 0,13%.

Resposta

a) 22,66%
b) 77,21%
c) 0,13%

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