O histórico de uma fábrica de memórias RAM DDR4, aponta que 1 % das memórias produzidas por aquele fabricante são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma memória RAM DDR4 numa amostra aleatória de 30 memórias sejam defeituosas, usando:
a) A distribuição Binomial
b) A distribuição de Poisson.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que produz memórias RAM DDR4 e sabemos que 1% delas são defeituosas. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao escolher 30 memórias aleatoriamente, mais de uma ser defeituosa? Vamos usar duas abordagens diferentes para resolver isso: a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson. Para isso, vamos precisar entender como essas distribuições funcionam e aplicar as fórmulas corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a distribuição Binomial. A distribuição Binomial é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 30 memórias), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (defeito) é constante em cada tentativa.

Passo 3

A fórmula da distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • (número de memórias),
  • é o número de defeituosas que queremos encontrar,
  • (probabilidade de uma memória ser defeituosa).

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de mais de uma memória ser defeituosa, ou seja, P(X > 1) = 1 - P(X <= 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] . Isso é igual a 1 menos a probabilidade de no máximo uma memória ser defeituosa:

Passo 5

Calculando P(X = 0) = binom300 (0,01)^0 (0,99)^30 = 1 times 1 times (0,99)^30 approx 0,7397 :

Passo 6

Calculando P(X = 1) = binom301 (0,01)^1 (0,99)^29 = 30 times 0,01 times (0,99)^29 approx 0,2231 :

Passo 7

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 1) = 0,7397 + 0,2231 = 0,9628

Passo 8

Então, a probabilidade de mais de uma memória defeituosa é:
P(X > 1) = 1 - 0,9628 = 0,0372
Ou seja, aproximadamente 3,72%.

Passo 9

Agora, vamos usar a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é útil para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, especialmente quando os eventos são raros. Aqui, defeitos são raros, então é uma boa opção.

Passo 10

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • ,
  • é o número de defeituosas que queremos encontrar,
  • é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 11

Queremos encontrar P(X > 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] , que é:

Passo 12

Calculando P(X = 0) = 0,3^0 e^-0,30! = 1 times e^-0,3 approx 0,7408 :

Passo 13

Calculando P(X = 1) = 0,3^1 e^-0,31! = 0,3 times e^-0,3 approx 0,2222 :

Passo 14

Somando essas probabilidades:
P(X <= 1) = 0,7408 + 0,2222 = 0,9630

Passo 15

Então, a probabilidade de mais de uma memória defeituosa é:
P(X > 1) = 1 - 0,9630 = 0,0370
Ou seja, aproximadamente 3,70%.

Resposta

A probabilidade de mais de uma memória RAM DDR4 ser defeituosa em uma amostra de 30 memórias é aproximadamente 3,72% usando a distribuição Binomial e 3,70% usando a distribuição de Poisson.

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