O histórico de uma fábrica de memórias RAM DDR4, aponta que
das memórias produzidas por aquele fabricante são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma memória RAM DDR4 numa amostra aleatória de 30 memórias sejam defeituosas, usando:
a) A distribuição Binomial
b) A distribuição de Poisson.
a) A distribuição Binomial
b) A distribuição de Poisson.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que produz memórias RAM DDR4 e sabemos que 1% delas são defeituosas. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao escolher 30 memórias aleatoriamente, mais de uma ser defeituosa? Vamos usar duas abordagens diferentes para resolver isso: a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson. Para isso, vamos precisar entender como essas distribuições funcionam e aplicar as fórmulas corretas.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a distribuição Binomial. A distribuição Binomial é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 30 memórias), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (defeito) é constante em cada tentativa.
Passo 3
A fórmula da distribuição Binomial é:
onde:
-
(número de memórias), -
é o número de defeituosas que queremos encontrar, -
(probabilidade de uma memória ser defeituosa).
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de mais de uma memória ser defeituosa, ou seja,
. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de no máximo uma memória ser defeituosa:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 8
Então, a probabilidade de mais de uma memória defeituosa é:
Ou seja, aproximadamente 3,72%.
Passo 9
Agora, vamos usar a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é útil para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, especialmente quando os eventos são raros. Aqui, defeitos são raros, então é uma boa opção.
Passo 10
A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
-
, -
é o número de defeituosas que queremos encontrar, -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.
Passo 11
Queremos encontrar
, que é:
Passo 12
Calculando
:
Passo 13
Calculando
:
Passo 14
Somando essas probabilidades:
Passo 15
Então, a probabilidade de mais de uma memória defeituosa é:
Ou seja, aproximadamente 3,70%.
Resposta
A probabilidade de mais de uma memória RAM DDR4 ser defeituosa em uma amostra de 30 memórias é aproximadamente 3,72% usando a distribuição Binomial e 3,70% usando a distribuição de Poisson.