O calor liberado (cal/g) de uma mistura de cimento tem distribuição aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. Desejamos testar
contra
, com uma amostra de 9 espécimes.
Encontre a probabilidade
do erro tipo II caso a média real for
. Esse valor é menor. Por que? (R: 0)
Encontre a probabilidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o calor liberado por uma mistura de cimento, que segue uma distribuição normal. A média esperada é 100 cal/g e o desvio-padrão é 2 cal/g. Queremos testar se a média real é 100 cal/g (hipótese nula, $ H_0 $) contra a possibilidade de ser diferente de 100 cal/g (hipótese alternativa, $ H_1
\beta $) quando a média real é 105 cal/g.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o erro do tipo II ($ \beta
H_0 $) mesmo ela sendo falsa. No nosso caso, isso significa não detectar que a média é realmente 105 cal/g quando a hipótese nula afirma que é 100 cal/g.
Passo 3
Como estamos lidando com uma distribuição normal e conhecemos o desvio-padrão, podemos usar o teste z para hipóteses sobre a média. A fórmula do teste z é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média amostral
- $ \mu_0 $ é a média na hipótese nula (100 cal/g)
- $ \sigma $ é o desvio-padrão (2 cal/g)
- $ n $ é o tamanho da amostra (9)
Passo 4
Definimos um nível de significância ($ \alpha $), geralmente 5%, que determina os valores críticos além dos quais rejeitamos $ H_0
H_1: \mu \neq 100 $), os valores críticos são:
Isso corresponde aos limites da região de rejeição.
Passo 5
Calculamos o intervalo de aceitação para $ H_0 $:
Então, o intervalo é aproximadamente de 98,69 cal/g a 101,31 cal/g. Se a média amostral estiver dentro desse intervalo, não rejeitamos $ H_0 $.
Passo 6
Agora, queremos encontrar $ \beta $, a probabilidade de não rejeitar $ H_0 $ quando a verdadeira média é 105 cal/g. Isso significa calcular a probabilidade de $ \bar{x} $ estar entre 98,69 e 101,31 cal/g quando $ \mu = 105 $.
Passo 7
Calculamos os valores z correspondentes usando a verdadeira média $ \mu = 105 $:
Passo 8
Consultando a tabela z, vemos que as probabilidades correspondentes a $ z_1 = -9,47 $ e $ z_2 = -5,53 $ são praticamente 0. Isso significa que a probabilidade de $ \bar{x} $ estar nesse intervalo quando $ \mu = 105 $ é praticamente nula.