O calor liberado (cal/g) de uma mistura de cimento tem distribuição aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. Desejamos testar H0: mu=100 cal / g contra H1: mu neq 100 cal / g, com uma amostra de 9 espécimes.
Encontre a probabilidade beta do erro tipo II caso a média real for mu=105. Esse valor é menor. Por que? (R: 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o calor liberado por uma mistura de cimento, que segue uma distribuição normal. A média esperada é 100 cal/g e o desvio-padrão é 2 cal/g. Queremos testar se a média real é 100 cal/g (hipótese nula, $ H_0 $) contra a possibilidade de ser diferente de 100 cal/g (hipótese alternativa, $ H_1 H0 éé \beta $) quando a média real é 105 cal/g.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o erro do tipo II ($ \beta beta ãó H_0 $) mesmo ela sendo falsa. No nosso caso, isso significa não detectar que a média é realmente 105 cal/g quando a hipótese nula afirma que é 100 cal/g.

Passo 3

Como estamos lidando com uma distribuição normal e conhecemos o desvio-padrão, podemos usar o teste z para hipóteses sobre a média. A fórmula do teste z é:
z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média amostral
  • $ \mu_0 $ é a média na hipótese nula (100 cal/g)
  • $ \sigma $ é o desvio-padrão (2 cal/g)
  • $ n $ é o tamanho da amostra (9)

Passo 4

Definimos um nível de significância ($ \alpha $), geralmente 5%, que determina os valores críticos além dos quais rejeitamos $ H_0 alpha H_1: \mu \neq 100 $), os valores críticos são:
H0
Isso corresponde aos limites da região de rejeição.

Passo 5

Calculamos o intervalo de aceitação para $ H_0 $:
H0
Então, o intervalo é aproximadamente de 98,69 cal/g a 101,31 cal/g. Se a média amostral estiver dentro desse intervalo, não rejeitamos $ H_0 $.

Passo 6

Agora, queremos encontrar $ \beta $, a probabilidade de não rejeitar $ H_0 $ quando a verdadeira média é 105 cal/g. Isso significa calcular a probabilidade de $ \bar{x} $ estar entre 98,69 e 101,31 cal/g quando $ \mu = 105 $.

Passo 7

Calculamos os valores z correspondentes usando a verdadeira média $ \mu = 105 $:
mu = 105
z1 = 98,69 - 1052 / 3 approx -6,310,6667 approx -9,47

Passo 8

Consultando a tabela z, vemos que as probabilidades correspondentes a $ z_1 = -9,47 $ e $ z_2 = -5,53 $ são praticamente 0. Isso significa que a probabilidade de $ \bar{x} $ estar nesse intervalo quando $ \mu = 105 $ é praticamente nula.

Resposta

beta = 0

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