Um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade revelou que esta variável se distribui normalmente, com média de 1.72 m e desvio padrão de 0.05 m . Calcule:
A porcentagem de alunos desta faculdade com altura entre 1.62 m e 1.82 m ;
A porcentagem de alunos desta faculdade com altura entre 1.62 m e 1.82 m ;
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre a altura dos alunos de uma faculdade que segue uma distribuição normal. Isso significa que as alturas estão distribuídas de forma simétrica em torno da média. Aqui, a média é de 1,72 metros e o desvio padrão é de 0,05 metros. O que a gente quer saber é qual a porcentagem de alunos que têm altura entre 1,62 metros e 1,82 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e escores Z.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar as alturas que a gente quer analisar (1,62 m e 1,82 m) em escores Z. O escore Z nos diz quantos desvios padrão uma dada medida está acima ou abaixo da média. A fórmula para calcular o escore Z é:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos transformando,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Passo 3
Vamos calcular o escore Z para 1,62 metros:
E agora para 1,82 metros:
Passo 4
Com os escores Z calculados, queremos saber a probabilidade de um aluno ter um Z entre -2 e 2. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que:
- A probabilidade de $ Z \leq 2 $ é aproximadamente 97,5%.
- A probabilidade de $ Z \leq -2 $ é aproximadamente 2,5%.
Para encontrar a porcentagem de alunos entre 1,62 m e 1,82 m, subtraímos a menor probabilidade da maior:
Resposta
Aproximadamente 95% dos alunos desta faculdade têm altura entre 1,62 metros e 1,82 metros.