Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração das lâmpada, em horas, segue distribuição
. Determine:
A quantidade aproximada de lâmpadas que durarão entre 516 e 814 horas;
A quantidade aproximada de lâmpadas que durarão entre 516 e 814 horas;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre 1000 lâmpadas novas instaladas numa fábrica, onde a duração das lâmpadas segue uma distribuição normal, representada por $ N(800; 10000) $. Nosso objetivo é descobrir aproximadamente quantas dessas lâmpadas vão durar entre 516 e 814 horas.
Para resolver isso, vamos precisar entender distribuição normal e como calcular probabilidades usando ela. Vamos passo a passo para garantir que tudo fique claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição $ N(800; 10000)
\mu
\sigma^2 $)**. Para trabalhar com a distribuição normal, é mais fácil usar o desvio padrão, então vamos calcular:
Então, temos uma média de 800 horas e um desvio padrão de 100 horas.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de uma lâmpada durar entre 516 e 814 horas. Para isso, vamos transformar esses valores em escores Z, que nos permitem usar a tabela da distribuição normal padrão.
A fórmula para calcular o escore Z é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos transformar.
- $ \mu $ é a média.
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Vamos calcular os escores Z para 516 e 814 horas.
Passo 4
Calculando o escore Z para 516 horas:
E para 814 horas:
Passo 5
Com os escores Z calculados, precisamos encontrar a probabilidade de um Z estar entre -2.84 e 0.14. Usaremos a tabela da distribuição normal padrão para isso.
- Para $ Z = 0.14 $: A probabilidade acumulada é aproximadamente 0.5557.
- Para $ Z = -2.84 $: Como as tabelas geralmente dão a probabilidade para valores positivos, usamos a simetria da distribuição:
Passo 6
Agora, para encontrar a probabilidade entre -2.84 e 0.14, subtraímos as probabilidades encontradas:
Isso significa que há aproximadamente 55.34% de chance de uma lâmpada durar entre 516 e 814 horas.
Passo 7
Finalmente, para encontrar a quantidade de lâmpadas que se enquadra nesse intervalo, multiplicamos a probabilidade pelo número total de lâmpadas:
Como não dá para ter uma fração de lâmpada, arredondamos para 553 lâmpadas.
Resposta
Aproximadamente 553 lâmpadas durarão entre 516 e 814 horas.