Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração das lâmpada, em horas, segue distribuição N(800 ; 10000). Determine:
A quantidade aproximada de lâmpadas que durarão entre 516 e 814 horas;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre 1000 lâmpadas novas instaladas numa fábrica, onde a duração das lâmpadas segue uma distribuição normal, representada por $ N(800; 10000) $. Nosso objetivo é descobrir aproximadamente quantas dessas lâmpadas vão durar entre 516 e 814 horas.
Para resolver isso, vamos precisar entender distribuição normal e como calcular probabilidades usando ela. Vamos passo a passo para garantir que tudo fique claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição $ N(800; 10000) N(800; 10000) úéé \mu mu çãâéã \sigma^2 $)**. Para trabalhar com a distribuição normal, é mais fácil usar o desvio padrão, então vamos calcular:
sigma^2
Então, temos uma média de 800 horas e um desvio padrão de 100 horas.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de uma lâmpada durar entre 516 e 814 horas. Para isso, vamos transformar esses valores em escores Z, que nos permitem usar a tabela da distribuição normal padrão.
A fórmula para calcular o escore Z é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos transformar.
  • $ \mu $ é a média.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.
Vamos calcular os escores Z para 516 e 814 horas.

Passo 4

Calculando o escore Z para 516 horas:
Z1 = 516 - 800100 = -284100 = -2.84
E para 814 horas:
Z2 = 814 - 800100 = 14100 = 0.14

Passo 5

Com os escores Z calculados, precisamos encontrar a probabilidade de um Z estar entre -2.84 e 0.14. Usaremos a tabela da distribuição normal padrão para isso.
  • Para $ Z = 0.14 $: A probabilidade acumulada é aproximadamente 0.5557.
  • Para $ Z = -2.84 $: Como as tabelas geralmente dão a probabilidade para valores positivos, usamos a simetria da distribuição:
Z = 0.14

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade entre -2.84 e 0.14, subtraímos as probabilidades encontradas:
P(-2.84 < Z < 0.14) = P(Z < 0.14) - P(Z < -2.84) approx 0.5557 - 0.0023 = 0.5534
Isso significa que há aproximadamente 55.34% de chance de uma lâmpada durar entre 516 e 814 horas.

Passo 7

Finalmente, para encontrar a quantidade de lâmpadas que se enquadra nesse intervalo, multiplicamos a probabilidade pelo número total de lâmpadas:
Quantidade approx 0.5534 times 1000 = 553.4
Como não dá para ter uma fração de lâmpada, arredondamos para 553 lâmpadas.

Resposta

Aproximadamente 553 lâmpadas durarão entre 516 e 814 horas.

Exercícios relacionados