Seja
. Calcule:
Passo 1
Beleza, a gente tem um problema onde a variável $ X $ segue uma distribuição normal com média 4 e desvio padrão 1, ou seja, $ X \sim N(4; 1) $. O que queremos descobrir é a probabilidade de $ X $ estar entre 2 e 5, representado por $ P(2 < X < 5) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição normal e como calcular probabilidades usando a tabela Z.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é aquela famosa curva em forma de sino, que é simétrica em relação à média. No nosso caso, a média $ \mu $ é 4 e o desvio padrão $ \sigma $ é 1. Queremos encontrar a área sob essa curva entre os valores 2 e 5, que corresponde à probabilidade procurada.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos transformar esses valores em valores padrões usando a transformação Z. Essa transformação nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão ($ Z $), que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para converter $ X $ em $ Z $ é:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para os valores 2 e 5.
Para $ X = 2 $:
Para $ X = 5 $:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre -2 e 1, ou seja, $ P(-2 < Z < 1) $.
Passo 5
Consultando a tabela Z, encontramos:
Então, a probabilidade de $ Z $ estar entre -2 e 1 é:
Resposta
Portanto, $ P(2 < X < 5) \approx 0,8185 $.