Seja X sim N(4 ; 1). Calcule:
P(2

Passo 1

Beleza, a gente tem um problema onde a variável $ X $ segue uma distribuição normal com média 4 e desvio padrão 1, ou seja, $ X \sim N(4; 1) $. O que queremos descobrir é a probabilidade de $ X $ estar entre 2 e 5, representado por $ P(2 < X < 5) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição normal e como calcular probabilidades usando a tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é aquela famosa curva em forma de sino, que é simétrica em relação à média. No nosso caso, a média $ \mu $ é 4 e o desvio padrão $ \sigma $ é 1. Queremos encontrar a área sob essa curva entre os valores 2 e 5, que corresponde à probabilidade procurada.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos transformar esses valores em valores padrões usando a transformação Z. Essa transformação nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão ($ Z $), que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para converter $ X $ em $ Z $ é:
Z

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para os valores 2 e 5.
Para $ X = 2 $:
X = 2
Para $ X = 5 $:
Z1 = 2 - 41 = -2
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre -2 e 1, ou seja, $ P(-2 < Z < 1) $.

Passo 5

Consultando a tabela Z, encontramos:
P(Z < 1) approx 0,8413
P(Z < -2) approx 0,0228
Então, a probabilidade de $ Z $ estar entre -2 e 1 é:
Z

Resposta

Portanto, $ P(2 < X < 5) \approx 0,8185 $.

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