Em um estudo sobre duração de certas operações, o tempo requerido em segundos (Y) para acondicionar objetos e o volume ( X ) que eles ocupam foi investigado. Para uma amostra de n=8 operações, foram observados: sumi=1^n xi=128, sumi=1^n yi=219,1, sumi=1^n xi^2= 2221,06, sumi=1^n yi^2=6498,27, sumi=1^n xi yi=3768,28. Seja rho a correlação entre X e Y, e considere as seguintes assertivas:
  1. A correlação entre o tempo e o volume é positiva e estimada em 0,895 .
  2. A correlação entre o tempo e o volume é positiva e estimada em 0,003.
  3. A hipótese nula H0: rho=0 (ou H0: coef. angular =0 ) não é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 4,92 e maior que o valor crítico 2,447 ao nível de 5 %.
  4. A hipótese nula H0: rho=0 (ou H0: coef. angular =0 ) não é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 4,92 e maior que o valor crítico 2,385 ao nível de 5 %.
  5. A hipótese nula H0: rho=0 (ou H0 : coef. angular =0 ) não é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 4,92 e maior que o valor crítico 1,96 ao nível de 5 %.
  6. A hipótese nula H0: rho=0 (ou H0: coef. angular =0 ) é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 0,007 e menor que o valor crítico 2,447 ao nível de 5 %.
  7. A hipótese nula H0: rho=0 (ou H0: coef. angular =0 ) é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 0,007 e menor que o valor crítico 1,96 ao nível de 5 %.
    Assinale a alternativa correta:
    As afirmações 1 e 3 são verdadeiras.
    B As afirmações 1 e 4 são verdadeiras.
    C As afirmações 2 e 7 são verdadeiras.
    D As afirmações 2 e 6 são verdadeiras.
    E As afirmações 1 e 5 são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com estatística, mais especificamente com correlação entre duas variáveis: o tempo requerido para acondicionar objetos (Y) e o volume que eles ocupam (X). Temos uma amostra de 8 operações com alguns dados já somados e precisamos analisar as afirmações sobre a correlação entre X e Y, além de verificar qual alternativa está correta com base nessas afirmações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ( rho) entre X e Y. Esse coeficiente nos diz como duas variáveis estão relacionadas, variando de -1 a 1. Um valor próximo de 1 indica uma forte correlação positiva, próximo de -1 uma forte correlação negativa e próximo de 0 indica pouca ou nenhuma correlação.
A fórmula para calcular rho é:
rho = n sum xi yi - (sum xi)(sum yi)raiz[n sum xi^2 - (sum xi)^2][n sum yi^2 - (sum yi)^2]
Vamos substituir os valores fornecidos:
  • n = 8
  • sum xi = 128
  • sum yi = 219,1
  • sum xi^2 = 2221,06
  • sum yi^2 = 6498,27
  • sum xi yi = 3768,28

Passo 3

Vamos calcular o numerador da fórmula:
n sum xi yi - (sum xi)(sum yi) = 8 times 3768,28 - 128 times 219,1
= 30146,24 - 28004,8 = 2141,44

Passo 4

Agora, vamos calcular as duas partes do denominador separadamente.
Primeiro, para X:
n sum xi^2 - (sum xi)^2 = 8 times 2221,06 - 128^2
= 17768,48 - 16384 = 1384,48
Segundo, para Y:
n sum yi^2 - (sum yi)^2 = 8 times 6498,27 - 219,1^2
= 51986,16 - 47980,81 = 4005,35

Passo 5

Agora, vamos calcular o denominador completo:
raiz1384,48 times 4005,35 = raiz5542181,628 approx 2353,73

Passo 6

Finalmente, calculamos o coeficiente de correlação rho:
rho = 2141,442353,73 approx 0,909
Então, a correlação entre X e Y é aproximadamente 0,909, o que indica uma forte correlação positiva.

Passo 7

Agora, vamos analisar as afirmações:
  1. A correlação entre o tempo e o volume é positiva e estimada em 0,895.
    Nosso cálculo deu aproximadamente 0,909, que está próximo de 0,895. Então, essa afirmação é verdadeira.
  2. A correlação entre o tempo e o volume é positiva e estimada em 0,003.
    Isso está totalmente fora do nosso cálculo. Falsa.
  3. A hipótese nula H0: rho=0 não é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 4,92 e maior que o valor crítico 2,447 ao nível de 5 %.
    Precisamos verificar qual é a estatística do teste. Usamos a fórmula:
    t = rho raizn-21-rho^2
    Substituindo:
    t = 0,909 raiz8-21-0,909^2 approx 0,909 raiz61-0,826 approx 0,909 raiz60,174 approx 0,909 times 5,872 approx 5,33
    Esse valor é maior que 2,447, então a afirmação 3 é verdadeira.
  4. A estatística do teste é igual a 4,92 e maior que 2,385.
    Calculamos aproximadamente 5,33, então essa afirmativa é falsa.
  5. A estatística do teste é igual a 4,92 e maior que 1,96.
    Similar ao anterior, o valor correto é cerca de 5,33, então essa afirmativa é falsa.
  6. A hipótese nula H0: rho=0 é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 0,007 e menor que 2,447 ao nível de 5 %.
    Isso está incorreto, já que nossa estatística do teste é maior que o valor crítico. Falsa.
  7. A hipótese nula H0: rho=0 é verdadeira, pois a estatística do teste é igual a 0,007 e menor que 1,96 ao nível de 5 %.
    Também está incorreto. Falsa.

Resposta

B As afirmações 1 e 4 são verdadeiras.

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