Um estudo do uso de cinto de segurança em táxis abrangeu 77 táxis em Nova York, 129 em Chicago e 72 em Pittsburgh, com os resultados apresentados na tabela a seguir. Um porta-voz do sindicato de motoristas de táxi argumenta que, embora pareça que poucos táxis têm cintos em condições de uso, o tamanho da amostra extraída das três cidades foi de apenas 278 , de modo que os resultados não são significativos. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que as três cidades têm a mesma proporção de táxis com cinto de segurança em condições de uso; isto é, teste a homogeneidade das proporções de cintos de segurança em condições de uso nas três cidades.
Nova York Chicago Pittsburgh
O táxi tem cinto
de segurança sim 3 42 2
em condições de uso não 74 87 70

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um estudo que analisou o uso de cintos de segurança em táxis de três cidades: Nova York, Chicago e Pittsburgh. A gente precisa testar, com nível de significância de 0,05, se a proporção de táxis com cinto de segurança em boas condições é a mesma nas três cidades. Para resolver isso, vamos usar o teste de homogeneidade das proporções, que é uma forma de ver se diferentes grupos têm a mesma proporção de uma característica específica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados numa tabela para visualizar melhor:
Cidade Com Cinto (Sim) Com Cinto (Não) Total
Nova York 3 74 77
Chicago 42 87 129
Pittsburgh 2 70 72
Total 47 231 278

Passo 3

Agora, vamos formular as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula (H₀): As proporções de táxis com cinto de segurança em boas condições são iguais nas três cidades.
  • Hipótese Alternativa (H₁): Pelo menos uma cidade tem uma proporção diferente das outras.

Passo 4

Vamos calcular as frequências esperadas para cada célula da tabela, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. A fórmula para a frequência esperada é:
Eij = (Total da Linhai) times (Total da Colunaj)Total Geral
Por exemplo, para Nova York com “Sim”:
E11 = 77 times 47278 approx 13,06
Fazemos o mesmo para todas as células:
Cidade Com Cinto (Sim) Com Cinto (Não) Total
Nova York 13,06 63,94 77
Chicago 21,92 107,08 129
Pittsburgh 2,02 69,98 72
Total 47 231 278

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do teste qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Onde $ O $ são as frequências observadas e $ E $ são as frequências esperadas. Vamos calcular para cada célula:
  • Nova York (Sim):
O
  • Nova York (Não):
E
  • Chicago (Sim):
(3 - 13,06)^213,06 approx 7,75
  • Chicago (Não):
(74 - 63,94)^263,94 approx 1,49
  • Pittsburgh (Sim):
(42 - 21,92)^221,92 approx 18,29
  • Pittsburgh (Não):
(87 - 107,08)^2107,08 approx 3,76
Somando todos esses valores:
(2 - 2,02)^22,02 approx 0,00

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor crítico do qui-quadrado para o nível de significância de 0,05 e os graus de liberdade. Os graus de liberdade para o teste de homogeneidade são:
df = (número de linhas - 1) times (número de colunas - 1) = (3-1) times (2-1) = 2 úú
Consultando uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora, o valor crítico para $ \chi^2 $ com 2 graus de liberdade e significância de 0,05 é aproximadamente 5,99.

Passo 7

Comparamos o valor calculado do $ \chi^2 $ com o valor crítico:
  • Se $ \chi^2_{calculado} > \chi^2_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ \chi^2_{calculado} \leq \chi^2_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
chi^2

Resposta

Como $ \chi^2_{calculado} = 31,29 $ é maior que $ \chi^2_{crítico} = 5,99 $, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que as proporções de táxis com cinto de segurança em condições de uso não são iguais nas três cidades analisadas.

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