Um estudo do uso de cinto de segurança em táxis abrangeu 77 táxis em Nova York, 129 em Chicago e 72 em Pittsburgh, com os resultados apresentados na tabela a seguir. Um porta-voz do sindicato de motoristas de táxi argumenta que, embora pareça que poucos táxis têm cintos em condições de uso, o tamanho da amostra extraída das três cidades foi de apenas 278 , de modo que os resultados não são significativos. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que as três cidades têm a mesma proporção de táxis com cinto de segurança em condições de uso; isto é, teste a homogeneidade das proporções de cintos de segurança em condições de uso nas três cidades.
Nova York | Chicago | Pittsburgh | ||
---|---|---|---|---|
O táxi tem cinto | ||||
de segurança |
|
3 | 42 | 2 |
em condições de uso | não | 74 | 87 | 70 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um estudo que analisou o uso de cintos de segurança em táxis de três cidades: Nova York, Chicago e Pittsburgh. A gente precisa testar, com nível de significância de 0,05, se a proporção de táxis com cinto de segurança em boas condições é a mesma nas três cidades. Para resolver isso, vamos usar o teste de homogeneidade das proporções, que é uma forma de ver se diferentes grupos têm a mesma proporção de uma característica específica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados numa tabela para visualizar melhor:
Cidade | Com Cinto (Sim) | Com Cinto (Não) | Total |
---|---|---|---|
Nova York | 3 | 74 | 77 |
Chicago | 42 | 87 | 129 |
Pittsburgh | 2 | 70 | 72 |
Total | 47 | 231 | 278 |
Passo 3
Agora, vamos formular as hipóteses do teste:
- Hipótese Nula (H₀): As proporções de táxis com cinto de segurança em boas condições são iguais nas três cidades.
- Hipótese Alternativa (H₁): Pelo menos uma cidade tem uma proporção diferente das outras.
Passo 4
Vamos calcular as frequências esperadas para cada célula da tabela, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. A fórmula para a frequência esperada é:
Por exemplo, para Nova York com “Sim”:
Fazemos o mesmo para todas as células:
Cidade | Com Cinto (Sim) | Com Cinto (Não) | Total |
---|---|---|---|
Nova York | 13,06 | 63,94 | 77 |
Chicago | 21,92 | 107,08 | 129 |
Pittsburgh | 2,02 | 69,98 | 72 |
Total | 47 | 231 | 278 |
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor do teste qui-quadrado usando a fórmula:
Onde $ O $ são as frequências observadas e $ E $ são as frequências esperadas. Vamos calcular para cada célula:
- Nova York (Sim):
- Nova York (Não):
- Chicago (Sim):
- Chicago (Não):
- Pittsburgh (Sim):
- Pittsburgh (Não):
Somando todos esses valores:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o valor crítico do qui-quadrado para o nível de significância de 0,05 e os graus de liberdade. Os graus de liberdade para o teste de homogeneidade são:
Consultando uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora, o valor crítico para $ \chi^2 $ com 2 graus de liberdade e significância de 0,05 é aproximadamente 5,99.
Passo 7
Comparamos o valor calculado do $ \chi^2 $ com o valor crítico:
- Se $ \chi^2_{calculado} > \chi^2_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
- Se $ \chi^2_{calculado} \leq \chi^2_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Resposta
Como $ \chi^2_{calculado} = 31,29 $ é maior que $ \chi^2_{crítico} = 5,99 $, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que as proporções de táxis com cinto de segurança em condições de uso não são iguais nas três cidades analisadas.