Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno chuta aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba
do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões? R: 0,321978
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma prova de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, e só uma está correta. O aluno sabe 60% do conteúdo, ou seja, ele tem uma chance de 60% de acertar cada pergunta sem precisar chutar. Para as perguntas que ele não sabe, que são 40%, ele vai chutar aleatoriamente entre as 5 opções, dando uma chance de 20% (já que 1 em 5 é correta). Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para descobrir:
- A chance dele acertar pelo menos uma das 5 questões.
- A chance dele acertar exatamente 3 das 5 questões.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de ele acertar pelo menos uma das 5 questões. Para isso, é mais fácil calcular a probabilidade dele errar todas as questões e depois subtrair esse valor de 1.
A probabilidade de errar uma única questão é o complemento de acertar, ou seja, 1 - 0,68 = 0,32 (porque 0,68 é a chance de acertar uma questão: 60% que ele sabe mais 40% que ele chuta e tem 1/5 de chance de acertar).
Então, a probabilidade de errar todas as 5 questões é:
Passo 3
Agora, calculamos isso:
Então, a probabilidade de errar todas as 5 questões é aproximadamente 0,3%.
Passo 4
Agora, queremos a probabilidade de acertar pelo menos uma das questões. Usamos o complemento:
Então, há aproximadamente 99,7% de chance de ele acertar pelo menos uma das 5 questões.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de ele acertar exatamente 3 das 5 questões. Para isso, usamos a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
- $ n = 5 $ (número de questões)
- $ k = 3 $ (número de acertos)
- $ p = 0,68 $ (probabilidade de acertar uma questão)
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial $ C(5, 3) $:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:
Resposta
A chance de ele acertar exatamente 3 das 5 questões é aproximadamente 0,321978.