Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno chuta aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba 60 % do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões? R: 0,321978

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma prova de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, e só uma está correta. O aluno sabe 60% do conteúdo, ou seja, ele tem uma chance de 60% de acertar cada pergunta sem precisar chutar. Para as perguntas que ele não sabe, que são 40%, ele vai chutar aleatoriamente entre as 5 opções, dando uma chance de 20% (já que 1 em 5 é correta). Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para descobrir:
  1. A chance dele acertar pelo menos uma das 5 questões.
  2. A chance dele acertar exatamente 3 das 5 questões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de ele acertar pelo menos uma das 5 questões. Para isso, é mais fácil calcular a probabilidade dele errar todas as questões e depois subtrair esse valor de 1.
A probabilidade de errar uma única questão é o complemento de acertar, ou seja, 1 - 0,68 = 0,32 (porque 0,68 é a chance de acertar uma questão: 60% que ele sabe mais 40% que ele chuta e tem 1/5 de chance de acertar).
Então, a probabilidade de errar todas as 5 questões é:
P(errar todas) = 0,32^5

Passo 3

Agora, calculamos isso:
0,32^5 = 0,32 times 0,32 times 0,32 times 0,32 times 0,32 approx 0,003
Então, a probabilidade de errar todas as 5 questões é aproximadamente 0,3%.

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de acertar pelo menos uma das questões. Usamos o complemento:
P(pelo menos uma certa) = 1 - P(errar todas) = 1 - 0,003 = 0,997
Então, há aproximadamente 99,7% de chance de ele acertar pelo menos uma das 5 questões.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de ele acertar exatamente 3 das 5 questões. Para isso, usamos a fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n = 5 $ (número de questões)
  • $ k = 3 $ (número de acertos)
  • $ p = 0,68 $ (probabilidade de acertar uma questão)
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial $ C(5, 3) $:
n = 5

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula:
P(X = 3) = 10 times (0,68)^3 times (0,32)^2
Calculando cada parte:
(0,68)^3 approx 0,314
(0,32)^2 approx 0,1024
Multiplicando tudo:
10 times 0,314 times 0,1024 approx 10 times 0,0321 approx 0,321

Resposta

A chance de ele acertar exatamente 3 das 5 questões é aproximadamente 0,321978.

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