Nos Exercícios 1 e 2, suponha que uma amostra de n pares de dados origine o valor dado de r. Consultando a Tabela A-6 (para alpha=0,05), determine se há correlação linear significativa entre x e y. (Veja o critério de decisão dado nesta seção.)
  1. a. n=32, r=0,992
    b. n=50, r=-0,333
    c. n=17, r=0,456
  2. a. n=22, r=-0,087
    b. n=40, r=0,299
    c. n=25, r=-0,401

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se existe uma correlação linear significativa entre duas variáveis, $ x $ e $ y $, usando o coeficiente de correlação $ r $ e o tamanho da amostra $ n $. Vamos precisar entender como testar a significância dessa correlação usando a Tabela A-6 com um nível de significância de $ \alpha = 0,05 $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o coeficiente de correlação $ r $. Ele varia de -1 a 1 e indica a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Um $ r $ próximo de 1 ou -1 indica uma forte correlação positiva ou negativa, respectivamente, enquanto um $ r $ próximo de 0 sugere pouca ou nenhuma correlação.

Passo 3

Para testar se essa correlação é estatisticamente significativa, usamos um teste de hipóteses. A hipótese nula $ H_0 $ assume que não há correlação significativa ($ \rho = 0 $), e a hipótese alternativa $ H_a $ afirma que existe uma correlação significativa ($ \rho \neq 0 $).

Passo 4

Calculamos o valor crítico $ r_{crítico} $ consultando a Tabela A-6 para $ \alpha = 0,05 $ e os respectivos graus de liberdade, que são $ df = n - 2 $. Se o valor absoluto de $ r $ for maior que $ r_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que há uma correlação significativa.

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso para cada caso:
1.a. $ n=32, r=0,992 $
  • Graus de liberdade: $ df = 32 - 2 = 30 $
  • Consultando a Tabela A-6, para $ df = 30 $ e $ \alpha = 0,05 $, $ r_{crítico} $ é aproximadamente 0,361.
  • Como $ |0,992| > 0,361 $, a correlação é significativa.
1.b. $ n=50, r=-0,333 $
  • Graus de liberdade: $ df = 50 - 2 = 48 $
  • $ r_{crítico} $ para $ df = 48 $ é cerca de 0,219.
  • $ | -0,333 | = 0,333 > 0,219 $, então a correlação é significativa.
1.c. $ n=17, r=0,456 $
  • Graus de liberdade: $ df = 17 - 2 = 15 $
  • $ r_{crítico} $ para $ df = 15 $ é aproximadamente 0,406.
  • $ 0,456 > 0,406 $, então a correlação é significativa.
2.a. $ n=22, r=-0,087 $
  • Graus de liberdade: $ df = 22 - 2 = 20 $
  • $ r_{crítico} $ para $ df = 20 $ é cerca de 0,307.
  • $ | -0,087 | = 0,087 < 0,307 $, então a correlação não é significativa.
2.b. $ n=40, r=0,299 $
  • Graus de liberdade: $ df = 40 - 2 = 38 $
  • $ r_{crítico} $ para $ df = 38 $ é aproximadamente 0,203.
  • $ 0,299 > 0,203 $, então a correlação é significativa.
2.c. $ n=25, r=-0,401 $
  • Graus de liberdade: $ df = 25 - 2 = 23 $
  • $ r_{crítico} $ para $ df = 23 $ é cerca de 0,334.
  • $ | -0,401 | = 0,401 > 0,334 $, então a correlação é significativa.

Resposta

A seguir estão as conclusões para cada caso:
  1. a. Correlação significativa.
b. Correlação significativa.
c. Correlação significativa.
  1. a. Correlação não significativa.
b. Correlação significativa.
c. Correlação significativa.

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