Um exame feito em jovens que terminaram o curso fundamental mostrou que 20 % foram reprovados em matemática, 10% foram reprovados em português e 5% foram reprovados tanto em matemática como em português. Os eventos ser reprovado em matemática e ser reprovado em português são independentes?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um exame onde 20% dos jovens foram reprovados em matemática, 10% foram reprovados em português e 5% foram reprovados em ambas as matérias. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, especificamente o conceito de eventos independentes. Precisamos descobrir se ser reprovado em matemática e ser reprovado em português são eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são eventos independentes. Dois eventos, A e B, são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Onde:
  • $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem.
  • $ P(A) $ é a probabilidade do evento A acontecer.
  • $ P(B) $ é a probabilidade do evento B acontecer.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição aos dados do problema.
  • Probabilidade de ser reprovado em matemática ($ P(M) $): 20%, ou seja, $ P(M) = 0.20 $.
  • Probabilidade de ser reprovado em português ($ P§ $): 10%, ou seja, $ P§ = 0.10 $.
  • Probabilidade de ser reprovado nas duas matérias ($ P(M \cap P) $): 5%, ou seja, $ P(M \cap P) = 0.05 $.

Passo 4

Agora, vamos verificar se $ P(M \cap P) $ é igual a $ P(M) \times P§ $:
P(M cap P)
Comparando com $ P(M \cap P) = 0.05 $ ou 5%, vemos que:
P(M) times P(P)

Resposta

Não, os eventos ser reprovado em matemática e ser reprovado em português não são independentes.

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