Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance de esse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2 . Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema mecânico precedente. Agora, calcule:
a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia?
b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito mecânico?
c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o veículo não parou nesse dia?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre probabilidades envolvendo um veículo que pode ter problemas mecânicos ou elétricos. A gente vai precisar entender um pouco sobre probabilidade condicional e como calcular a chance de eventos ocorrerem juntos ou separados.

Passo 2

a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia?
Primeiro, vamos pensar quando o veículo para:
  1. Se tiver um problema elétrico, ele para imediatamente.
  2. Se tiver problema mecânico, ele não para.
Então, o veículo para se apenas tiver um problema elétrico. Vamos calcular essa probabilidade total.
Sabemos que:
  • Probabilidade de ter problema mecânico: $ P(M) = 0,2 $
  • Probabilidade de ter problema elétrico dado que não teve mecânico: $ P(E| \neg M) = 0,15 $
  • Probabilidade de ter problema elétrico dado que teve mecânico: $ P(E| M) = 0,25 $
Mas, como o veículo para apenas se tiver problema elétrico, vamos calcular a probabilidade total de ter problema elétrico, independente de ter ou não problema mecânico.
Usamos a fórmula da probabilidade total:
P(M) = 0,2
Onde $ P(\neg M) = 1 - P(M) = 0,8 $.
Calculando:
P(E| neg M) = 0,15
Então, a probabilidade de o veículo parar em um dia é 17%.

Passo 3

b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito mecânico?
Aqui, queremos $ P(M| E) $, a probabilidade de ter defeito mecânico dado que o veículo parou.
Para isso, usamos a fórmula de Bayes:
P(M| E)
Já calculamos $ P(E) = 0,17 $. Substituindo os valores:
P(M| E) = P(E| M) cdot P(M)P(E)
Então, a chance de ter havido defeito mecânico dado que o veículo parou é aproximadamente 29,41%.

Passo 4

c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o veículo não parou nesse dia?
Aqui, buscamos $ P(M| \neg E) $, ou seja, a probabilidade de ter defeito mecânico dado que o veículo não parou.
Aplicamos novamente a fórmula de Bayes:
P(M| neg E)
Primeiro, vamos calcular $ P(\neg E| M) $:
Como $ P(E| M) = 0,25 $, então $ P(\neg E| M) = 1 - 0,25 = 0,75 $.
Também sabemos que $ P(\neg E) = 1 - P(E) = 0,83 $.
Substituindo os valores:
P(M| neg E) = P(neg E| M) cdot P(M)P(neg E)
Portanto, a probabilidade de ter havido defeito mecânico se o veículo não parou é aproximadamente 18,07%.

Resposta

a) 17%
b) Aproximadamente 29,41%
c) Aproximadamente 18,07%

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