Um exame de laboratório tem eficiência de 97% para detectar uma doença quando ela de fato existe. Além disso, o teste aponta um resultado falso positivo para 1,5% das pessoas sadias testadas. Se 0,4% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso, tenha a doença, sabendo que o seu exame foi positivo?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um teste de laboratório que detecta uma doença com 97% de eficiência quando a pessoa realmente está doente. Além disso, o teste pode dar um resultado falso positivo em 1,5% das pessoas saudáveis. Sabemos que 0,4% da população tem a doença. Queremos descobrir qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter a doença, sabendo que o exame deu positivo.
Aqui, vamos usar Teoria das Probabilidades e especificamente o Teorema de Bayes para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades conhecidas:
  • Sensibilidade do teste (P(Positivo|Doente)): 97% ou 0,97. Isso significa que, se a pessoa está doente, há 97% de chance do teste dar positivo.
  • Taxa de falso positivo (P(Positivo|Sadio)): 1,5% ou 0,015. Isso significa que, se a pessoa está saudável, há 1,5% de chance do teste dar positivo.
  • Prevalência da doença (P(Doente)): 0,4% ou 0,004. Isto é, 0,4% da população tem a doença.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o teste deu positivo, ou seja, P(Doente|Positivo). Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que é dado por:
P(Doente|Positivo) = P(Positivo|Doente) times P(Doente)P(Positivo)

Passo 4

Precisamos calcular P(Positivo), a probabilidade do teste dar positivo para qualquer pessoa. Isso inclui pessoas doentes e saudáveis. Podemos calcular assim:
P(Positivo) = P(Positivo|Doente) times P(Doente) + P(Positivo|Sadio) times P(Sadio)
Sabemos que P(Sadio) = 1 - P(Doente) = 1 - 0,004 = 0,996.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula de P(Positivo):
P(Positivo) = 0,97 times 0,004 + 0,015 times 0,996
P(Positivo) = 0,00388 + 0,01494
P(Positivo) = 0,01882

Passo 6

Agora, vamos voltar à fórmula do Teorema de Bayes e substituir os valores:
P(Doente|Positivo) = 0,97 times 0,0040,01882
P(Doente|Positivo) = 0,003880,01882
P(Doente|Positivo) approx 0,2065

Resposta

A probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso esteja com a doença, sabendo que o exame foi positivo, é de aproximadamente 20,65%.

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