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Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que 0,5 % da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que
(a) o resultado seja positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um exame que detecta uma doença. Queremos descobrir a probabilidade de o exame dar positivo. Vamos usar o conteúdo de probabilidade condicional e a fórmula da probabilidade total. Precisamos saber as chances do exame dar positivo tanto para quem tem a doença quanto para quem não tem, além da porcentagem de pessoas que realmente têm a doença na população.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que a gente sabe:
  • Probabilidade do exame dar positivo se a pessoa tem a doença (verdadeiro positivo): ç
  • Probabilidade do exame dar positivo mesmo se a pessoa não tem a doença (falso positivo): ãç
  • Probabilidade de uma pessoa ter a doença na população: ç (ou seja, 0,5%)
  • Probabilidade de uma pessoa não ter a doença: ãçç

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade total de o exame dar positivo, independentemente de a pessoa ter ou não a doença. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade total:
P(Positivo) = P(Positivo|Doença) times P(Doença) + P(Positivo|Não Doença) times P(Não Doença) ççãçãç

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
P(Positivo) = 0,95 times 0,005 + 0,10 times 0,995

Passo 5

Agora, vamos fazer as contas:
0,95 times 0,005 = 0,00475
0,10 times 0,995 = 0,0995

Passo 6

Somando os dois resultados:
0,00475 + 0,0995 = 0,10425

Resposta

A probabilidade de que o resultado do exame seja positivo é de 10,425%.

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