x 7 8 9 10 12
fX(x) 20 / 100 40 / 100 10 / 100 a 25 / 100
(g) Var(2 X+1), usando as propriedades de variância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, o enunciado nos dá uma tabela que mostra a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória . A nossa missão é encontrar a variância de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é variância e como ela se comporta quando a variável é transformada.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos completar a tabela de probabilidades. Observando que todas as probabilidades devem somar 1 (ou 100%), temos:
20100 + 40100 + 10100 + a + 25100 = 1
Somando as frações conhecidas:
95100 + a = 1 Rightarrow a = 5100
Agora, a tabela completa fica:
c|ccccc x & 7 & 8 & 9 & 10 & 12 hline fX(x) & 20100 & 40100 & 10100 & 5100 & 25100

Passo 3

Vamos calcular a expectativa E(X) = sum x cdot fX(x) = 7 cdot 20100 + 8 cdot 40100 + 9 cdot 10100 + 10 cdot 5100 + 12 cdot 25100 , que é a média ponderada dos valores de E(X) = 1.4 + 3.2 + 0.9 + 0.5 + 3 = 8 :
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar E(X^2) = sum x^2 cdot fX(x) = 7^2 cdot 20100 + 8^2 cdot 40100 + 9^2 cdot 10100 + 10^2 cdot 5100 + 12^2 cdot 25100 , que é a expectativa do quadrado de E(X^2) = 49 cdot 0.2 + 64 cdot 0.4 + 81 cdot 0.1 + 100 cdot 0.05 + 144 cdot 0.25 = 9.8 + 25.6 + 8.1 + 5 + 36 = 84.5 :
Calculando cada termo:

Passo 5

Com Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 84.5 - 8^2 = 84.5 - 64 = 20.5 e em mãos, podemos calcular a variância de :

Passo 6

Agora, vamos usar as propriedades da variância para encontrar Var(aX + b) = a^2 Var(X) . A propriedade que vamos usar é:
Var(2X + 1) = 2^2 Var(X) = 4 cdot 20.5 = 82
Onde e . Portanto:

Resposta

A variância de é .

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