Qual é a excentricidade da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo X, que passa pelo ponto P= (1,1) e tem focos em F= ( √6/2, 0)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a excentricidade de uma elipse que tem o centro na origem, com o eixo maior ao longo do eixo X. Ela passa pelo ponto $ P = (1,1) $ e tem os focos em $ F = \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, 0 \right) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a equação padrão, a relação entre os eixos e a definição de excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da elipse com o centro na origem e o eixo maior no eixo X:
Aqui, $ a $ é o semi-eixo maior e $ b $ é o semi-eixo menor.
Passo 3
Sabemos que a distância dos focos ao centro é $ c $, e a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $ é:
A excentricidade $ e $ da elipse é dada por:
Nosso objetivo é encontrar $ e $.
Passo 4
Os focos estão em $ \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, 0 \right) $, então:
Vamos usar essa informação mais tarde.
Passo 5
Como a elipse passa pelo ponto $ P = (1,1) $, podemos substituir esses valores na equação padrão da elipse:
Passo 6
Vamos usar a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $ para substituir $ b^2 $:
Então,
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ a^2 $. Primeiro, unificamos os denominadores:
Passo 8
Multiplicamos ambos os lados por $ a^4 - \frac{3}{2}a^2 $:
Rearranjando os termos:
Passo 9
Vamos resolver essa equação quadrática em $ a^2 $. Seja $ z = a^2 $:
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Como $ a > b $, escolhemos $ a^2 = 3 $.
Passo 10
Agora que temos $ a^2 = 3 $, podemos encontrar $ b^2 $:
Passo 11
Finalmente, calculamos a excentricidade $ e $:
Resposta
A excentricidade da elipse é $ e = \frac{1}{\sqrt{2}} $ ou aproximadamente $ 0,707 $.