Qual é a excentricidade da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo X, que passa pelo ponto P= (1,1) e tem focos em F= ( √6/2, 0)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a excentricidade de uma elipse que tem o centro na origem, com o eixo maior ao longo do eixo X. Ela passa pelo ponto $ P = (1,1) $ e tem os focos em $ F = \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, 0 \right) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a equação padrão, a relação entre os eixos e a definição de excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da elipse com o centro na origem e o eixo maior no eixo X:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, $ a $ é o semi-eixo maior e $ b $ é o semi-eixo menor.

Passo 3

Sabemos que a distância dos focos ao centro é $ c $, e a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $ é:
c
A excentricidade $ e $ da elipse é dada por:
a
Nosso objetivo é encontrar $ e $.

Passo 4

Os focos estão em $ \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, 0 \right) $, então:
( raiz62, 0 )
Vamos usar essa informação mais tarde.

Passo 5

Como a elipse passa pelo ponto $ P = (1,1) $, podemos substituir esses valores na equação padrão da elipse:
P = (1,1)

Passo 6

Vamos usar a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $ para substituir $ b^2 $:
a
Então,
b

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ a^2 $. Primeiro, unificamos os denominadores:
a^2
(a^2 - 32) + a^2a^2 (a^2 - 32) = 1

Passo 8

Multiplicamos ambos os lados por $ a^4 - \frac{3}{2}a^2 $:
a^4 - 32a^2
Rearranjando os termos:
2a^2 - 32 = a^4 - 32a^2

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática em $ a^2 $. Seja $ z = a^2 $:
a^2
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
z = a^2
Usando a fórmula de Bhaskara:
z^2 - 72z + 32 = 0
Assim, temos duas soluções:
2z^2 - 7z + 3 = 0
Como $ a > b $, escolhemos $ a^2 = 3 $.

Passo 10

Agora que temos $ a^2 = 3 $, podemos encontrar $ b^2 $:
a^2 = 3

Passo 11

Finalmente, calculamos a excentricidade $ e $:
e

Resposta

A excentricidade da elipse é $ e = \frac{1}{\sqrt{2}} $ ou aproximadamente $ 0,707 $.

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