Determine x para que o ponto P (x, 2x + 3) seja equidistante dos pontos A (1, 2) e B (-2, 3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto $ P(x, 2x + 3) $ e precisa encontrar o valor de $ x $ para que esse ponto seja equidistante dos pontos $ A(1, 2) $ e $ B(-2, 3) $. Isso entra no conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente no cálculo de distâncias entre pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
Passo 3
Como queremos que o ponto $ P $ seja equidistante de $ A $ e $ B $, vamos calcular a distância de $ P $ até $ A $ e de $ P $ até $ B $, e igualar essas duas distâncias.
Passo 4
Vamos calcular a distância entre $ P(x, 2x + 3) $ e $ A(1, 2) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância entre $ P(x, 2x + 3) $ e $ B(-2, 3) $:
Passo 6
Como $ d_{PA} = d_{PB} $, podemos igualar as expressões dentro das raízes para simplificar, já que a raiz é uma função crescente:
Passo 7
Vamos expandir os termos quadrados:
Substituindo na equação:
Passo 8
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Passo 9
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Passo 10
Resolvendo para $ x $:
Resposta
O valor de $ x $ que faz com que o ponto $ P(x, 2x + 3) $ seja equidistante dos pontos $ A(1, 2) $ e $ B(-2, 3) $ é $ x = -1 $.