Determine x para que o ponto P (x, 2x + 3) seja equidistante dos pontos A (1, 2) e B (-2, 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto $ P(x, 2x + 3) $ e precisa encontrar o valor de $ x $ para que esse ponto seja equidistante dos pontos $ A(1, 2) $ e $ B(-2, 3) $. Isso entra no conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente no cálculo de distâncias entre pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
(x1, y1)

Passo 3

Como queremos que o ponto $ P $ seja equidistante de $ A $ e $ B $, vamos calcular a distância de $ P $ até $ A $ e de $ P $ até $ B $, e igualar essas duas distâncias.

Passo 4

Vamos calcular a distância entre $ P(x, 2x + 3) $ e $ A(1, 2) $:
P(x, 2x + 3)

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre $ P(x, 2x + 3) $ e $ B(-2, 3) $:
P(x, 2x + 3)

Passo 6

Como $ d_{PA} = d_{PB} $, podemos igualar as expressões dentro das raízes para simplificar, já que a raiz é uma função crescente:
dPA = dPB

Passo 7

Vamos expandir os termos quadrados:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
(2x)^2 = 4x^2
Substituindo na equação:
(x^2 - 2x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) = (x^2 + 4x + 4) + 4x^2

Passo 8

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
x^2 - 2x + 1 + 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 4x + 4 + 4x^2
5x^2 + 2x + 2 = 5x^2 + 4x + 4

Passo 9

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
5x^2 + 2x + 2 - 5x^2 - 4x - 4 = 0
-2x - 2 = 0

Passo 10

Resolvendo para $ x $:
x
-2x = 2

Resposta

O valor de $ x $ que faz com que o ponto $ P(x, 2x + 3) $ seja equidistante dos pontos $ A(1, 2) $ e $ B(-2, 3) $ é $ x = -1 $.

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