Dê exemplo de uma sequiência não limitada que tenha subseqüências convergentes; e de seqüência não limitada que não tenha uma única subseqüència convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente dar dois exemplos de sequências:
  1. Uma sequência que não é limitada, mas que tem pelo menos uma subsequência que converge.
  2. Uma sequência que também não é limitada, mas que não tem nenhuma subsequência que converge.
    Vamos usar conceitos de limites e subsequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma sequência não limitada. Uma sequência é não limitada quando seus termos não ficam dentro de algum intervalo fixo, ou seja, ela pode crescer sem parar ou diminuir sem limite. Já uma subsequência é uma “letra” da sequência original, pegando apenas alguns termos dela.

Passo 3

Para o primeiro exemplo, precisamos de uma sequência que não seja limitada, mas que tenha uma ou mais subsequências que convergem (ou seja, que têm um limite finito). Vamos construir uma sequência que vai alternando entre crescer infinitamente e ficar na mesma posição.
Por exemplo:
éíé
Nessa sequência, os termos ímpares são sempre 1, e os pares crescem sem limite. A subsequência dos termos ímpares é constante (sempre 1), então ela converge para 1.

Passo 4

Agora, para o segundo exemplo, queremos uma sequência que também não seja limitada, mas que não possua nenhuma subsequência que converja. Para isso, podemos criar uma sequência que oscila sem padrão e cresce em módulo.
Por exemplo:
Aqui, dependendo se n é par ou ímpar, os termos alternam entre positivos e negativos, e o valor absoluto de cada termo cresce sem parar. Não existe uma subsequência que se stabiliza em algum valor finito, então nenhuma subsequência converge.

Resposta

Um exemplo de sequência não limitada com subsequências convergentes é:
éíé
Já um exemplo de sequência não limitada sem nenhuma subsequência convergente é:

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