Prove, diretamente da Definição 2.26 , que as seguintes sequiências são de Cauchy:
a) a_n = 1 + 1/n
b) a_n = 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a Definição 2.26, que duas sequências específicas são de Cauchy. Estamos lidando com Sequências e Sequências de Cauchy, que são conceitos importantes em Análise. Para resolver isso, vamos precisar entender a Definição de Sequência de Cauchy e aplicar ela em cada uma das sequências dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é uma sequência de Cauchy. Definição de Sequência de Cauchy: Uma sequência é de Cauchy se, para todo número positivo varepsilon, existe um número natural N tal que, para todos os , a diferença entre e é menor que varepsilon. Em outras palavras:
Isso basicamente significa que, após um certo ponto na sequência, todos os termos ficam tão próximos entre si quanto quisermos.

Passo 3

Vamos começar com a Parte a): .
Queremos mostrar que essa sequência é de Cauchy. Primeiro, vamos entender o comportamento da sequência. À medida que n aumenta, 1/n diminui e a sequência se aproxima de 1.

Passo 4

Para provar que é de Cauchy, vamos considerar dois termos quaisquer e com . Vamos calcular a diferença :

Passo 5

Simplificamos a diferença:
Como n e m são maiores que N, então e . Logo, .

Passo 6

Portanto, temos:
Para que isso seja menor que varepsilon, basta que . Podemos escolher N grande o suficiente para que, independente de m e n maiores que N, essa desigualdade seja satisfeita.

Passo 7

Assim, dado qualquer , escolhemos N tal que . Isso garante que para todos . Portanto, a sequência é de Cauchy.

Passo 8

Agora, vamos para a Parte b): .
Essa sequência soma os termos da série do tipo até o n-ésimo termo. Sabemos que a série converge, pois é uma série de termos positivos e decrescentes que tendem a zero.

Passo 9

Para mostrar que é de Cauchy, vamos considerar dois termos quaisquer e com . A diferença será a soma dos termos entre m + 1 e n:

Passo 10

Sabemos que a série converge para , então a soma dos termos de m + 1 a n pode ser feita tão pequena quanto quisermos escolhendo m grande o suficiente.

Passo 11

Dado qualquer , existe um N tal que, para todo , a soma . Assim, para :

Resposta

Portanto, ambas as sequências e são de Cauchy conforme a Definição 2.26.

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