Prove, diretamente da Definição 2.26 , que as seguintes sequiências são de Cauchy:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a Definição 2.26, que duas sequências específicas são de Cauchy. Estamos lidando com Sequências e Sequências de Cauchy, que são conceitos importantes em Análise. Para resolver isso, vamos precisar entender a Definição de Sequência de Cauchy e aplicar ela em cada uma das sequências dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é uma sequência de Cauchy. Definição de Sequência de Cauchy: Uma sequência é de Cauchy se, para todo número positivo , existe um número natural tal que, para todos os , a diferença entre e é menor que . Em outras palavras:
Isso basicamente significa que, após um certo ponto na sequência, todos os termos ficam tão próximos entre si quanto quisermos.
Passo 3
Vamos começar com a Parte a): .
Queremos mostrar que essa sequência é de Cauchy. Primeiro, vamos entender o comportamento da sequência. À medida que aumenta, diminui e a sequência se aproxima de 1.
Passo 4
Para provar que é de Cauchy, vamos considerar dois termos quaisquer e com . Vamos calcular a diferença :
Passo 5
Simplificamos a diferença:
Como e são maiores que , então e . Logo, .
Passo 6
Portanto, temos:
Para que isso seja menor que , basta que . Podemos escolher grande o suficiente para que, independente de e maiores que , essa desigualdade seja satisfeita.
Passo 7
Assim, dado qualquer , escolhemos tal que . Isso garante que para todos . Portanto, a sequência é de Cauchy.
Passo 8
Agora, vamos para a Parte b): .
Essa sequência soma os termos da série do tipo até o -ésimo termo. Sabemos que a série converge, pois é uma série de termos positivos e decrescentes que tendem a zero.
Passo 9
Para mostrar que é de Cauchy, vamos considerar dois termos quaisquer e com . A diferença será a soma dos termos entre e :
Passo 10
Sabemos que a série converge para , então a soma dos termos de a pode ser feita tão pequena quanto quisermos escolhendo grande o suficiente.
Passo 11
Dado qualquer , existe um tal que, para todo , a soma . Assim, para :
Resposta
Portanto, ambas as sequências e são de Cauchy conforme a Definição 2.26.