Dê exemplos de funções f, g e h tais que f(x) <= g(x) <= h(x), forall x in R e tais que existam os limites lim x 0 f(x) e lim x 0 g(x) mas não exista o limite lim x 0 g(x). Compare com o teorema do confronto.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de limites envolvendo funções que estão “espremidas” entre outras duas funções. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich). Para resolver o problema, precisamos encontrar três funções , e tais que:
  • para todo em .
  • Os limites e existem.
  • O limite não existe.
Além disso, vamos comparar isso com o Teorema do Confronto para entender melhor como ele se aplica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Confronto. Ele afirma que se temos três funções , e onde próximo de um ponto , e se , então . Ou seja, se as duas funções externas têm o mesmo limite, a função do meio também terá esse limite.

Passo 3

No nosso exercício, queremos mostrar um caso onde o Teorema do Confronto não garante o limite de . Para isso, precisamos que os limites de e existam, mas não sejam iguais. Assim, fica “espremido” entre duas funções que se aproximam de valores diferentes, fazendo com que seu limite não exista.

Passo 4

Vamos construir exemplos de funções que atendem a esses requisitos. Uma escolha simples é:
  • para e
Vamos verificar se essas funções cumprem as condições:
  1. Ordenação: Sabemos que para todo , já que o seno está sempre entre -1 e 1, e multiplicado por se mantém nessa faixa.
  2. Limites de e :
  3. Limite de :
    • não existe, pois a função oscila infinitamente entre -1 e 1 à medida que se aproxima de 0.

Passo 5

Agora, vamos comparar com o Teorema do Confronto. Nesse exemplo, mesmo que e tenham o mesmo limite (ambos tendem a 0), também deveria ter o limite 0 segundo o teorema. Porém, como o limite de não existe, isso indica que as condições do teorema são satisfeitas (limites de e existem e são iguais), mas a função não converge, o que sugere que precisamos ter cuidado ao aplicar o teorema, garantindo que as funções estão corretamente restritas.

Resposta

Um exemplo de funções que satisfazem as condições do exercício é:
f(x) = -|x|
g(x) = sin(1x), x neq 0
g(0) = 0
h(x) = |x|
Onde para todo , os limites e existem, mas não existe. Isso ilustra que, mesmo com funções limitadas entre duas funções com o mesmo limite, sem condições adicionais, pode não ter um limite, ressaltando a importância das hipóteses do Teorema do Confronto.

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