Dê exemplos de funções
e
tais que
e tais que existam os limites
e
mas não exista o limite
. Compare com o teorema do confronto.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de limites envolvendo funções que estão “espremidas” entre outras duas funções. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich). Para resolver o problema, precisamos encontrar três funções
,
e
tais que:
-
para todo em . - Os limites
e existem. - O limite
não existe.
Além disso, vamos comparar isso com o Teorema do Confronto para entender melhor como ele se aplica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Confronto. Ele afirma que se temos três funções
,
e
onde
próximo de um ponto
, e se
, então
. Ou seja, se as duas funções externas têm o mesmo limite, a função do meio também terá esse limite.
Passo 3
No nosso exercício, queremos mostrar um caso onde o Teorema do Confronto não garante o limite de
. Para isso, precisamos que os limites de
e
existam, mas não sejam iguais. Assim,
fica “espremido” entre duas funções que se aproximam de valores diferentes, fazendo com que seu limite não exista.
Passo 4
Vamos construir exemplos de funções que atendem a esses requisitos. Uma escolha simples é:
-
-
para e -
Vamos verificar se essas funções cumprem as condições:
-
Ordenação: Sabemos que
para todo , já que o seno está sempre entre -1 e 1, e multiplicado por se mantém nessa faixa. -
Limites de
e : -
-
Limite de
: -
não existe, pois a função oscila infinitamente entre -1 e 1 à medida que se aproxima de 0.
-
Passo 5
Agora, vamos comparar com o Teorema do Confronto. Nesse exemplo, mesmo que
e
tenham o mesmo limite (ambos tendem a 0),
também deveria ter o limite 0 segundo o teorema. Porém, como o limite de
não existe, isso indica que as condições do teorema são satisfeitas (limites de
e
existem e são iguais), mas a função
não converge, o que sugere que precisamos ter cuidado ao aplicar o teorema, garantindo que as funções estão corretamente restritas.
Resposta
Um exemplo de funções que satisfazem as condições do exercício é:
Onde
para todo
, os limites
e
existem, mas
não existe. Isso ilustra que, mesmo com funções limitadas entre duas funções com o mesmo limite, sem condições adicionais,
pode não ter um limite, ressaltando a importância das hipóteses do Teorema do Confronto.