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Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua. Justifique.
(a) f(x)=ccsen(x^2-4)+5, & se x>2 x^2+x-6x-2, & se x<2 5, & se x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar em que pontos a função é contínua. A função dada é uma função por partes, ou seja, ela tem expressões diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e verificar como a função se comporta em cada parte do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as diferentes partes da função:
f(x) = sin(x^2 - 4) + 5, & se x > 2 x^2 + x - 6x - 2, & se x < 2 5, & se x = 2

Passo 3

Para , a função é . Funções trigonométricas, polinomiais e constantes são contínuas em todo o seu domínio. Assim, nessa parte, a função é contínua para todo .

Passo 4

Agora, para x^2 + x - 6x - 2 = (x - 2)(x + 3)x - 2 = x + 3 (para x neq 2) , temos a função . Vamos simplificar essa expressão:
Então, para , a função simplifica para , que é uma função polinomial contínua.

Passo 5

No ponto , a função está definida como . Para verificar se a função é contínua nesse ponto, precisamos ver se o limite da função quando se aproxima de 2 é igual a .

Passo 6

Calculando o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x + 3) = 2 + 3 = 5 ):
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (sin(x^2 - 4) + 5) = sin(0) + 5 = 0 + 5 = 5
Calculando o limite pela direita ( ):

Passo 7

Como os limites pela esquerda e pela direita em são iguais e também iguais a , a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua para todo real. Ou seja, é contínua em todo o seu domínio .

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