1
Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função é contínua. Justifique.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar em que pontos a função é contínua. A função dada é uma função por partes, ou seja, ela tem expressões diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e verificar como a função se comporta em cada parte do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as diferentes partes da função:
f(x) = sin(x^2 - 4) + 5, & se x > 2 x^2 + x - 6x - 2, & se x < 2 5, & se x = 2
Passo 3
Para , a função é . Funções trigonométricas, polinomiais e constantes são contínuas em todo o seu domínio. Assim, nessa parte, a função é contínua para todo .
Passo 4
Agora, para x^2 + x - 6x - 2 = (x - 2)(x + 3)x - 2 = x + 3 (para x neq 2) , temos a função . Vamos simplificar essa expressão:
Então, para , a função simplifica para , que é uma função polinomial contínua.
Passo 5
No ponto , a função está definida como . Para verificar se a função é contínua nesse ponto, precisamos ver se o limite da função quando se aproxima de 2 é igual a .
Passo 6
Calculando o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x + 3) = 2 + 3 = 5 ):