Exercício 3.25. Uma prova com 20 questões de V ou F é aplicada. Um aluno não estudou nada e decide chutar todas as questões. Qual a probabilidade de ele acertar exatamente metade das questões?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma prova com 20 questões de Verdadeiro ou Falso (V ou F). Um aluno não estudou e resolve chutar todas as respostas. A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar exatamente metade das questões, ou seja, 10 perguntas?

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada questão tem duas opções: Verdadeiro ou Falso. Como o aluno está chutando, a chance de acertar uma pergunta é de 50%, ou seja, .

Passo 3

Como temos um número fixo de tentativas (20 questões) e cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (acerto ou erro), podemos usar a Distribuição Binomial para resolver esse problema. A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número total de tentativas (20 questões)
  • é o número de sucessos desejados (10 acertos)
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,5)

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial binom2010 = 20!10! times (20-10)! = 184756 :
0,5^10 = 11024
  1. Probabilidade dos acertos P(10) = 184756 times 11024 times 11024 = 184756 times 11048576 approx 0,176 :
  1. Probabilidade dos erros
Agora, multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade de o aluno acertar exatamente 10 das 20 questões é de aproximadamente 17,6%.

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