Exercício 3.23. Um grupo de 6 pessoas será disposto em 6 cadeiras em fila aleatoriamente. Cada disposição ocorre com mesma probabilidade. João e Maria não se gostam e torcem para que o sorteio não os coloque sentados um ao lado do outro. Qual a probabilidade de o desejo deles ser atendido?
Passo 1
Beleza, vamos resumir a questão primeiro. Temos 6 pessoas que vão se sentar em 6 cadeiras dispostas em fila, e cada disposição é igualmente provável. Nosso foco são o João e a Maria, que não se dão bem e querem, de preferência, não ficar sentados um ao lado do outro. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de eles não ficarem lado a lado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e arranjos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de maneiras que as 6 pessoas podem se arranjar nas 6 cadeiras. Isso é um arranjo simples, onde a ordem importa. A fórmula para arranjos é
, onde
é o número de pessoas. Então, temos:
Então, existem 720 maneiras diferentes de dispor as 6 pessoas nas cadeiras.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas dessas arrumações têm o João e a Maria sentados lado a lado. Para facilitar, vamos considerar o João e a Maria como uma única “unidade”. Assim, em vez de 6 pessoas, temos 5 unidades para arranjar.
O número de arranjos dessas 5 unidades é:
Mas dentro dessa “unidade” João-Maria, temos 2 formas de arranjar eles (João primeiro ou Maria primeiro). Então, multiplicamos por 2:
Portanto, há 240 arranjos onde João e Maria estão lado a lado.
Passo 4
Agora, para encontrar as arrumações onde João e Maria não estão lado a lado, subtraímos o número de arranjos indesejados do total de arranjos:
Então, existem 480 arranjos onde João e Maria não estão sentados juntos.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a probabilidade de João e Maria não ficarem lado a lado, dividimos o número de arranjos favoráveis pelo total de arranjos:
Resposta
A probabilidade de João e Maria não ficarem sentados um ao lado do outro é de
ou aproximadamente 66,67%.