1. Exercício 1.26 - Um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos, ângulo de pressão 20^circ e módulo 6 mm, foi projetado para transmitir 2500 W a 660 rpm. Para um par com 20 e 40 dentes, respectivamente, determinar pelo critério da pressão, o coeficiente de segurança por fadiga por contato. Considerar Qv=7, um fator de sobrecarga de 1,25, engrenagens de média precisão e uma expectativa de vida 10^7 ciclos. Dados: pinhão e coroa de aço endurecido por completo grau 1 (dureza de 220 HB), E=200 GPa, v=0,3, R(x)=95 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de engenharia de engrenagens juntos! A gente tem um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos com algumas características específicas e precisamos descobrir o coeficiente de segurança contra fadiga por contato. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica de materiais e teoria de engrenagens, como cálculo de tensões de contato e fatores de segurança. Vamos precisar das fórmulas que relacionam potência, velocidade, força de contato e materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • Potência §: 2500 W
  • Velocidade (n): 660 rpm
  • Número de dentes do pinhão (z₁): 20
  • Número de dentes da coroa (z₂): 40
  • Ângulo de pressão (α): 20°
  • Módulo (m): 6 mm
  • Fator de carga dinâmica (Q_v): 7
  • Fator de sobrecarga (Z): 1,25
  • Expectativa de vida (N): 10^7 ciclos
  • Dureza (HB): 220
  • Módulo de elasticidade (E): 200 GPa
  • Coeficiente de Poisson (v): 0,3
  • R(x): 95%

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as velocidades das engrenagens. A velocidade angular (ω) está relacionada à velocidade em rpm (n) pela fórmula:
omega = 2pi n60
Então, calculamos a velocidade angular do pinhão:
omega1 = 2pi times 66060 = 69,12 , rad/s

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a força tangencial (F_t) transmitida pelas engrenagens. A potência está relacionada à força tangencial e à velocidade angular pela fórmula:
P = Ft times vt
Onde vt é a velocidade tangencial na circunferência primitiva. A velocidade tangencial pode ser calculada por:
vt = omega1 times r1
Primeiro, encontramos o raio primitivo ( r1) do pinhão:
r1 = m times z1 / 2 = 6 times 20 / 2 = 60 , mm = 0,06 , m
Agora, calculamos vt:
vt = 69,12 times 0,06 = 4,147 , m/s
Agora, isolamos Ft da fórmula da potência:
Ft = Pvt = 25004,147 approx 602,3 , N

Passo 5

Com a força tangencial, podemos calcular a força de contato ( Fc) usando o ângulo de pressão ( α):
Fc = Ftcos alpha
Convertendo o ângulo para radianos:
alpha = 20° Rightarrow cos 20° approx 0,9397
Então:
Fc = 602,30,9397 approx 640,4 , N

Passo 6

Agora, vamos calcular a tensão de contato ( sigmac) usando a fórmula de Hertz para contato entre dentes de engrenagens:
sigmac = raizFc times Qv times Zb times m times R(x)
Onde b é a largura da face da engrenagem. Como não foi fornecida, vamos supor uma largura padrão ou que ela se cancela no cálculo do coeficiente de segurança. Para simplificação, vamos usar uma fórmula adaptada:
sigmac = Fc times Qv times Zm times b
Assumindo b = m:
sigmac = 640,4 times 7 times 1,256 times 6 approx 5607,036 approx 155,75 , MPa

Passo 7

Para determinar o coeficiente de segurança ( n), usamos a relação entre a tensão admissível do material e a tensão de contato calculada:
n = sigmaadmissívelsigmac í
A tensão admissível pode ser obtida a partir da dureza (HB = 220). Uma estimativa comum relaciona dureza Brinell com tensão última ( sigmau):
sigmau approx 3,5 times HB = 3,5 times 220 approx 770 , MPa
Assumindo que a tensão admissível é uma fração da tensão última, por exemplo, 60%:
sigmaadmissível = 0,6 times 770 approx 462 , MPa í
Então:
n = 462155,75 approx 2,97

Resposta

O coeficiente de segurança contra fadiga por contato para o par de engrenagens é aproximadamente 2,97.

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