Exercício 3: Calcule as seguintes integrais imediatas:
f) integral0^1 3^x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integrais de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções da forma , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 3^x+3 = 27 times 3^x . Sabemos que pode ser reescrito como . Como , temos:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral0^1 27 times 3^x , dx
Podemos tirar o 27 para fora da integral, já que é uma constante:
27 integral0^1 3^x , dx

Passo 4

Para integrar integral 3^x , dx = 3^xln 3 + C , lembramos que a integral de em relação a é . Então, aplicando isso:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à nossa integral definida, aplicamos os limites de 0 a 1:
27 [ 3^xln 3 ]0^1 = 27 ( 3^1ln 3 - 3^0ln 3 )

Passo 6

Calculando os valores:
3^1 = 3 e 3^0 = 1
Então:
27 ( 3ln 3 - 1ln 3 ) = 27 ( 2ln 3 )

Passo 7

Multiplicando 27 por 27 times 2ln 3 = 54ln 3 :

Resposta

O valor da integral é .

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