Calcule cada uma das integrais abaixo. integral1^3 x^3 ln (x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos du = 1x dx . A razão para essa escolha é que a derivada de é simples de calcular:

Passo 3

Em seguida, definimos v = integral x^3 dx = x^44 . Agora, precisamos integrar para encontrar :

Passo 4

Com integral u , dv = uv - integral v , du e integral x^3 ln(x) , dx = x^44 ln(x) - integral x^44 cdot 1x dx definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
integral x^44 cdot 1x dx = 14 integral x^3 dx = 14 cdot x^44 = x^416
Portanto, a integral fica:
integral x^3 ln(x) , dx = x^44 ln(x) - x^416 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
[ x^44 ln(x) - x^416 ]1^3
Calculando para 3^44 ln(3) - 3^416 = 814 ln(3) - 8116 :
1^44 ln(1) - 1^416 = 0 - 116 = -116
E para :

Passo 7

Subtraímos os valores obtidos:
( 814 ln(3) - 8116 ) - ( -116 ) = 814 ln(3) - 8016 = 814 ln(3) - 5

Resposta

A integral é igual a .

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