Exercício 2: Uma placa de madeira 12 times 12 times 1 in é exposta ao ar seco. A umidade que está em seu interior se difunde para a superfície, evapora e migra para a corrente de ar. A umidade na superfície da placa permanece constante no valor de 7,5% (base seca) durante a secagem. Após 10 horas, a umidade no centro da placa diminui de 17,6% para 11,1% (base seca). Se o coeficiente convectivo de transferência de massa pode ser considerado suficientemente grande para se despreza a transferência de massa na superfície ( m=0 ). Dado: DA B=2,4 times 10^-9 m^2 / s.
Calcule:
b) O tempo necessário para a umidade no centro de um cubo de madeira de 1 in reduzir de 17,6 para 11,1 %, se todas as 6 faces estiverem expostas. Utilize a mesma difusividade efetiva da água na madeira do item a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o tempo necessário para que a umidade no centro de um cubo de madeira de 1 polegada reduza de 17,6% para 11,1%, considerando que todas as 6 faces estão expostas. Vamos utilizar conceitos de difusão de massa e a difusividade fornecida, que é . Para resolver isso, precisaremos entender como a umidade se propaga no material e aplicar a equação de difusão apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a difusão no contexto da umidade na madeira. A difusão é o processo pelo qual as moléculas de água se movem do interior da madeira para a superfície, onde evaporam. A difusividade nos dá uma ideia de quão rápido esse processo ocorre.

Passo 3

Como temos um cubo com todas as faces expostas, a difusão ocorre em três dimensões. Para simplificar, podemos usar a equação de difusão tridimensional para estimar o tempo necessário para a umidade no centro do cubo atingir o valor desejado.

Passo 4

A equação que nos ajuda a relacionar o tempo t = L^2D , a difusividade e a distância característica (no caso, a distância do centro até a face do cubo) é:
Aqui, é metade do comprimento da aresta do cubo.

Passo 5

Vamos converter as unidades para ficar tudo em metros:
  • 1 polegada = 0,0254 metros
  • Então, o cubo tem aresta de 0,0254 m
  • A distância do centro até a face é m

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação:
t = (0,0127)^22,4 times 10^-9 = 0,000161292,4 times 10^-9 approx 6,72 times 10^4 , segundos

Passo 7

Convertendo segundos para horas para facilitar a compreensão:
6,72 times 10^4 , segundos div 3600 approx 18,67 , horas

Resposta

O tempo necessário para que a umidade no centro do cubo de madeira de 1 polegada reduza de 17,6% para 11,1% é aproximadamente 18,7 horas.

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