Exercicio em sala de aulis
Considere um asteroide de raio
e massa
. Considere
.
f
- (25%) Que distância da superfície uma partícula atinge se deixar a superfície do asteroide com uma velocidade inicial
?
Dica:
Para eccapar do asteroide a energia mecânica deve ser
.
Considere um asteroide de raio
f
Dica:
Para eccapar do asteroide a energia mecânica deve ser
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um asteroide com raio
e massa
. Queremos descobrir a que distância acima da superfície uma partícula vai chegar se for lançada com uma velocidade inicial de
. Vamos usar conceitos de energia mecânica e gravitação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um objeto é a soma da sua energia cinética (
) e da energia potencial gravitacional (
). A dica do exercício diz que para a partícula escapar do asteroide, a energia mecânica deve ser maior ou igual a zero (
).
Passo 3
No ponto de lançamento, a partícula tem energia cinética devido à sua velocidade inicial e energia potencial gravitacional devido à atração do asteroide. A energia cinética inicial é dada por:
E a energia potencial gravitacional na superfície do asteroide é:
Aqui,
é a constante gravitacional.
Passo 4
No ponto mais alto que a partícula alcança, toda a energia cinética será convertida em energia potencial, e a velocidade será zero. Então, a energia mecânica nesse ponto será:
onde
é a altura que queremos encontrar.
Passo 5
Como a energia mecânica total deve ser constante, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, movemos os termos para um lado:
Fatoramos
:
Passo 7
Simplificamos a diferença das frações:
Então:
Passo 8
Isolamos
na equação:
Esse termo ainda está com
no lado direito, mas vamos assumir que
é muito menor que
, ou seja,
. Assim, podemos simplificar para:
Passo 9
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Calculando passo a passo:
Então:
Resposta
A partícula atinge uma distância de aproximadamente
acima da superfície do asteroide.