Exercicio em sala de aulis
Considere um asteroide de raio R=500 km e massa M=1,2 times 10^21 kg. Considere G=6,7 times 10^-11 N cdot m^2 / kg^2.
f
r=R
  • (25%) Que distância da superfície uma partícula atinge se deixar a superfície do asteroide com uma velocidade inicial v0=300 m / s ?
    Dica:
    Para eccapar do asteroide a energia mecânica deve ser Em e c >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um asteroide com raio R = 500 km e massa M = 1,2 times 10^21 kg. Queremos descobrir a que distância acima da superfície uma partícula vai chegar se for lançada com uma velocidade inicial de v0 = 300 m/s. Vamos usar conceitos de energia mecânica e gravitação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um objeto é a soma da sua energia cinética ( Ek) e da energia potencial gravitacional ( Ep). A dica do exercício diz que para a partícula escapar do asteroide, a energia mecânica deve ser maior ou igual a zero ( Emec >= 0).

Passo 3

No ponto de lançamento, a partícula tem energia cinética devido à sua velocidade inicial e energia potencial gravitacional devido à atração do asteroide. A energia cinética inicial é dada por:
Ek = 12 m v0^2
E a energia potencial gravitacional na superfície do asteroide é:
Ep = -G M mR
Aqui, G é a constante gravitacional.

Passo 4

No ponto mais alto que a partícula alcança, toda a energia cinética será convertida em energia potencial, e a velocidade será zero. Então, a energia mecânica nesse ponto será:
Emec = -G M mR + h
onde h é a altura que queremos encontrar.

Passo 5

Como a energia mecânica total deve ser constante, temos:
12 m v0^2 - G M mR = -G M mR + h
Podemos simplificar dividindo todos os termos por m:
12 v0^2 - G MR = -G MR + h

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar h. Primeiro, movemos os termos para um lado:
12 v0^2 = G MR - G MR + h
Fatoramos G M:
12 v0^2 = G M ( 1R - 1R + h )

Passo 7

Simplificamos a diferença das frações:
1R - 1R + h = (R + h) - RR (R + h) = hR (R + h)
Então:
12 v0^2 = G M hR (R + h)

Passo 8

Isolamos h na equação:
h = 12 v0^2 R (R + h)G M
Esse termo ainda está com h no lado direito, mas vamos assumir que h é muito menor que R, ou seja, R + h approx R. Assim, podemos simplificar para:
h approx 12 v0^2 R^2G M

Passo 9

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
h approx 0.5 times (300)^2 times (5 times 10^5)^26.7 times 10^-11 times 1.2 times 10^21
Calculando passo a passo:
  • 0.5 times 300^2 = 0.5 times 90000 = 45000
  • R^2 = (5 times 10^5)^2 = 2.5 times 10^11
  • G M = 6.7 times 10^-11 times 1.2 times 10^21 = 8.04 times 10^10
Então:
h approx 45000 times 2.5 times 10^118.04 times 10^10 = 1.125 times 10^168.04 times 10^10 approx 1.4 times 10^5 m

Resposta

A partícula atinge uma distância de aproximadamente 140 , km acima da superfície do asteroide.

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