Utilizando integração por partes, escreva quem é f(x) e g(x), f^prime(x) e g^prime(x) em cada item. Em seguida, resolva a integral.
(a) integral x cdot sen(x)

Passo 1

Então, temos a integral . A gente vai usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções. Pra isso, vamos precisar escolher quais funções vão ser e .

Passo 2

Na integração por partes, a gente escolhe como a parte que vai ser derivada e como a parte que vai ser integrada. Aqui, vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas e integrais necessárias:
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral f(x) cdot g'(x) , dx = f(x) cdot g(x) - integral g(x) cdot f'(x) , dx
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot sen(x) , dx = x cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 1 , dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
- x cdot cos(x) + integral cos(x) , dx
A integral de - x cdot cos(x) + sen(x) + C é , então:
onde é a constante de integração.

Resposta

integral x cdot sen(x) , dx = -x cdot cos(x) + sen(x) + C

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