Nos Exercícios 13-16, encontre e esboce as curvas de nível
no mesmo conjunto de eixos de coordenadas para os valores determinados de
. Referimo-nos a essas curvas de nível como um mapa de contorno.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício. A questão pede para a gente encontrar e desenhar as curvas de nível da função
para determinados valores de
. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são ferramentas importantes para visualizar como uma função se comporta em um plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma curva de nível. Imagine que
representa a altura de uma montanha em cada ponto
. Uma curva de nível para um valor específico de
seria como uma linha no mapa que conecta todos os pontos de mesma altura
.
Passo 3
Para encontrar a curva de nível
, substituímos o valor de
na função e resolvemos para
em termos de
(ou vice-versa), dependendo da facilidade de resolver a equação. Isso nos dará uma equação que representa a curva no plano
.
Passo 4
Vamos supor que a função dada seja
e os valores de
sejam 1, 4 e 9. Substituindo esses valores na função, temos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Essas equações representam círculos no plano
com raios
. Assim:
-
tem raio 1 -
tem raio 2 -
tem raio 3
Passo 6
Agora, vamos esboçar essas curvas no mesmo conjunto de eixos de coordenadas:
- Desenhe o eixo
e o eixo . - Trace círculos concêntricos com o centro na origem
e raios 1, 2 e 3. - Marque cada círculo com o valor correspondente de
.
Resposta
As curvas de nível
para
,
e
são círculos concêntricos no plano
com raios 1, 2 e 3, respectivamente. O esboço no conjunto de eixos de coordenadas mostrará três círculos centrados na origem, cada um com o raio correspondente ao valor de
.