Nos Exercícios 13-16, encontre e esboce as curvas de nível f(x, y) = c no mesmo conjunto de eixos de coordenadas para os valores determinados de c. Referimo-nos a essas curvas de nível como um mapa de contorno.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício. A questão pede para a gente encontrar e desenhar as curvas de nível da função para determinados valores de . Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são ferramentas importantes para visualizar como uma função se comporta em um plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma curva de nível. Imagine que representa a altura de uma montanha em cada ponto . Uma curva de nível para um valor específico de seria como uma linha no mapa que conecta todos os pontos de mesma altura .

Passo 3

Para encontrar a curva de nível , substituímos o valor de na função e resolvemos para em termos de (ou vice-versa), dependendo da facilidade de resolver a equação. Isso nos dará uma equação que representa a curva no plano .

Passo 4

Vamos supor que a função dada seja e os valores de sejam 1, 4 e 9. Substituindo esses valores na função, temos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Essas equações representam círculos no plano com raios . Assim:
  • tem raio 1
  • tem raio 2
  • tem raio 3

Passo 6

Agora, vamos esboçar essas curvas no mesmo conjunto de eixos de coordenadas:
  1. Desenhe o eixo e o eixo .
  2. Trace círculos concêntricos com o centro na origem e raios 1, 2 e 3.
  3. Marque cada círculo com o valor correspondente de .

Resposta

As curvas de nível para , e são círculos concêntricos no plano com raios 1, 2 e 3, respectivamente. O esboço no conjunto de eixos de coordenadas mostrará três círculos centrados na origem, cada um com o raio correspondente ao valor de .

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