(a) y'' + 3/t y = 1, y(1) = 1, y'(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar utilizar métodos de equações diferenciais lineares, como encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação equidimensional. Sabemos que para equações desse tipo, tentamos uma solução da forma .
Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por :
Parece que houve um erro aqui. A equação homogênea de Euler deve ser resolvida de forma diferente. Vamos reconsiderar.
Na verdade, para a equação homogênea , tentamos uma solução da forma :
Derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Factorando :
Para que isso seja válido para todo , o termo dentro dos colchetes deve ser zero:
No entanto, isso sugere que a abordagem da equação de Euler não está funcionando diretamente aqui, então vamos optar por outra técnica para resolver a equação homogênea.

Passo 3

Vamos tentar resolver a equação homogênea usando a fórmula de equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Podemos reescrever a equação como:
Esta é uma equação linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, podemos usar a substituição:
, então
Substituindo na equação:
No entanto, isso não simplifica diretamente a equação. Outra abordagem é usar o método de redução de ordem, assumindo uma solução particular.
Vamos tentar encontrar uma solução particular da forma .
Substituindo na equação:
Portanto, uma solução particular é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea .
Assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação:
Para encontrar , igualamos o coeficiente a zero:
Isso sugere que a abordagem da equação de Euler não está adequada para essa equação específica. Vamos então tentar uma solução de forma .
Substituindo na equação:
Dividindo por :
Isso novamente não resolve a equação para constantes . Portanto, precisamos optar por uma abordagem diferente, possivelmente variando a constante ou usando integrais.

Passo 5

Vamos tentar resolver a equação homogênea usando uma substituição diferente. Observamos que a equação é de segunda ordem e pode ser difícil de resolver diretamente. Vamos tentar multiplicar ambos os lados por um fator integrante para simplificar.
Reescrevemos a equação homogênea:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, reconhecemos que a expressão à esquerda é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração. Agora, resolvemos para :
Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular que encontramos anteriormente. A solução geral da equação completa é:

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
As condições são:
Primeiro, encontramos e :
Derivando:
Aplicando :
Aplicando :
Substituindo na equação (1):

Resposta

A solução da equação diferencial dada, satisfazendo as condições iniciais, é:

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