(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar utilizar métodos de equações diferenciais lineares, como encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação equidimensional. Sabemos que para equações desse tipo, tentamos uma solução da forma
.
Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
:
Parece que houve um erro aqui. A equação homogênea de Euler deve ser resolvida de forma diferente. Vamos reconsiderar.
Na verdade, para a equação homogênea
, tentamos uma solução da forma
:
Derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Factorando
:
Para que isso seja válido para todo
, o termo dentro dos colchetes deve ser zero:
No entanto, isso sugere que a abordagem da equação de Euler não está funcionando diretamente aqui, então vamos optar por outra técnica para resolver a equação homogênea.
Passo 3
Vamos tentar resolver a equação homogênea
usando a fórmula de equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Podemos reescrever a equação como:
Esta é uma equação linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, podemos usar a substituição:
Substituindo na equação:
No entanto, isso não simplifica diretamente a equação. Outra abordagem é usar o método de redução de ordem, assumindo uma solução particular.
Vamos tentar encontrar uma solução particular da forma
.
Substituindo
na equação:
Portanto, uma solução particular é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea
.
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Para encontrar
, igualamos o coeficiente a zero:
Isso sugere que a abordagem da equação de Euler não está adequada para essa equação específica. Vamos então tentar uma solução de forma
.
Substituindo na equação:
Dividindo por
:
Isso novamente não resolve a equação para constantes
. Portanto, precisamos optar por uma abordagem diferente, possivelmente variando a constante ou usando integrais.
Passo 5
Vamos tentar resolver a equação homogênea usando uma substituição diferente. Observamos que a equação é de segunda ordem e pode ser difícil de resolver diretamente. Vamos tentar multiplicar ambos os lados por um fator integrante para simplificar.
Reescrevemos a equação homogênea:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, reconhecemos que a expressão à esquerda é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular que encontramos anteriormente. A solução geral da equação completa é:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
As condições são:
Primeiro, encontramos
e
:
Derivando:
Aplicando
:
Aplicando
:
Substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução da equação diferencial dada, satisfazendo as condições iniciais, é: