Nos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular
sobre a região
dada.
é o cilindro reto sólido cuja base é a região entre as circunferências
e
e cujo topo está no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que montar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular
, onde a região
é um cilindro reto sólido. A base desse cilindro está entre as circunferências
e
, e o topo está no plano
. Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como determinar os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância ao eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a altura.
A integral tripla em coordenadas cilíndricas tem o elemento de volume
, daí o
na integral.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para cada variável.
Para
:
As circunferências e
são válidas quando
, ou seja, quando
.
As circunferências
Para
:
Para cada no intervalo acima,
varia de
até
.
Para cada
Para
:
O topo do cilindro está no plano . Em coordenadas cilíndricas,
, então
. A base do cilindro está no plano
. Assim,
varia de
até
.
O topo do cilindro está no plano
Passo 4
Agora que temos todos os limites, vamos montar a integral iterada. A ordem de integração será
, depois
, e por último
.
A integral fica assim:
Resposta
A integral iterada para calcular
sobre a região
é: