Nos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) d z r d r d theta sobre a região D dada.
D é o cilindro reto sólido cuja base é a região entre as circunferências r=cos theta e r=2 cos theta e cujo topo está no plano z=3-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que montar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular , onde a região é um cilindro reto sólido. A base desse cilindro está entre as circunferências e , e o topo está no plano . Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como determinar os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por , onde:
  • é a distância ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a altura.
A integral tripla em coordenadas cilíndricas tem o elemento de volume , daí o na integral.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para cada variável.
Para :
As circunferências e são válidas quando , ou seja, quando .
Para :
Para cada no intervalo acima, varia de até .
Para :
O topo do cilindro está no plano . Em coordenadas cilíndricas, , então . A base do cilindro está no plano . Assim, varia de até .

Passo 4

Agora que temos todos os limites, vamos montar a integral iterada. A ordem de integração será integral-pi2^pi2 integralcos theta^2 cos theta integral0^3 - r sin theta f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta , depois , e por último .
A integral fica assim:

Resposta

A integral iterada para calcular integral-pi2^pi2 integralcos theta^2 cos theta integral0^3 - r sin theta f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta sobre a região é:

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