Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(i) y = 1 / (x^2 - x - 2), de 0 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região limitada pela curva no intervalo de . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais definidas, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos verificar se a função está bem comportada nesse intervalo e, se necessário, dividir a integral em partes para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter problemas, como pontos onde o denominador é zero, pois isso indicaria assimptotas verticais e possíveis complicações na área. Vamos encontrar os valores de que anulam o denominador:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, e . No intervalo de , o ponto problemático é .

Passo 3

Como a função tem uma assíntota vertical em , não podemos simplesmente integrar de a sem considerar o comportamento da função nesse ponto. Vamos, então, dividir a integral em duas partes:
  1. De a
  2. De a
Isso nos ajuda a lidar com a descontinuidade em .

Passo 4

Vamos calcular a integral de de a :
Para resolver essa integral, vamos fazer uma decomposição em frações simples. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos a fração:
Resolvendo para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:
Agora, integramos:
Ao avaliar o limite superior , percebemos que tende a , indicando que a integral diverge. Portanto, a área nessa parte tende ao infinito negativo, o que não faz sentido fisicamente.

Passo 5

Como a primeira parte da integral não converge, já podemos concluir que a área total não existe no intervalo dado . A presença da assíntota em faz com que a área seja infinita.

Resposta

Não existe uma área finita limitada pela curva no intervalo devido à presença de uma assíntota vertical em .

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