Exercícios 3.21: (Cefet-PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzamse conforme um ângulo de 30^circ. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4000 m do citado cruzamento. Sabendo que o percurso do posto Estrela do Sul até a rua Tenório Quadros forma um ângulo de 90^circ no ponto de encontro do posto com a rua Teófilo Silva, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o cruzamento de duas ruas que se encontram formando um ângulo de . Temos um posto de gasolina que está localizado na avenida Teófilo Silva, a 4000 metros do cruzamento. Precisamos descobrir qual é a distância, em quilômetros, entre esse posto e a rua Tenório Quadros. Para resolver isso, vamos usar trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona ângulos e lados em triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar melhor a situação. Imagine as duas ruas formando um ângulo de . O posto de gasolina está na avenida Teófilo Silva, a 4000 metros do cruzamento. A linha que vai do posto até a rua Tenório Quadros forma um ângulo de no ponto de encontro com a avenida.

Passo 3

Agora, vamos identificar os lados do triângulo formado:
  • O lado adjacente ao ângulo de é a distância do posto até o cruzamento, que é 4000 metros.
  • O lado oposto é a distância que queremos encontrar, ou seja, a distância do posto até a rua Tenório Quadros.
  • A hipotenusa é a linha que vai do posto até a rua Tenório Quadros.

Passo 4

Sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. A fórmula da tangente é:
tan(theta) = lado opostolado adjacente
Aqui, , o lado adjacente é 4000 metros, e o lado oposto é a distância que queremos encontrar, que vamos chamar de .

Passo 5

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar d = tan(30^circ) times 4000 :
Sabemos que .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = 0,577 times 4000 = 2308 metros

Passo 7

Por fim, vamos converter a distância de metros para quilômetros, já que a resposta pede em quilômetros:
2308 metros = 2,308 quilômetros ô

Resposta

A distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros é de aproximadamente 2,31 quilômetros.

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