Exercícios 3.21: (Cefet-PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzamse conforme um ângulo de
. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4000 m do citado cruzamento. Sabendo que o percurso do posto Estrela do Sul até a rua Tenório Quadros forma um ângulo de
no ponto de encontro do posto com a rua Teófilo Silva, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o cruzamento de duas ruas que se encontram formando um ângulo de
. Temos um posto de gasolina que está localizado na avenida Teófilo Silva, a 4000 metros do cruzamento. Precisamos descobrir qual é a distância, em quilômetros, entre esse posto e a rua Tenório Quadros. Para resolver isso, vamos usar trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona ângulos e lados em triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar melhor a situação. Imagine as duas ruas formando um ângulo de
. O posto de gasolina está na avenida Teófilo Silva, a 4000 metros do cruzamento. A linha que vai do posto até a rua Tenório Quadros forma um ângulo de
no ponto de encontro com a avenida.
Passo 3
Agora, vamos identificar os lados do triângulo formado:
- O lado adjacente ao ângulo de
é a distância do posto até o cruzamento, que é 4000 metros. - O lado oposto é a distância que queremos encontrar, ou seja, a distância do posto até a rua Tenório Quadros.
- A hipotenusa é a linha que vai do posto até a rua Tenório Quadros.
Passo 4
Sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. A fórmula da tangente é:
Aqui,
, o lado adjacente é 4000 metros, e o lado oposto é a distância que queremos encontrar, que vamos chamar de
.
Passo 5
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Sabemos que
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Por fim, vamos converter a distância de metros para quilômetros, já que a resposta pede em quilômetros:
Resposta
A distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros é de aproximadamente 2,31 quilômetros.
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