Exercícios da Seção
24. Uma rede de hotéis quer desenvolver um intervalo de
de confiança para o número médio de quartos ocupados por noite em todas as unidades espalhadas pelo país. Quantas noites devem ser incluidas na amostra se um erro de 50 quartos pode ser tolerado e a amostra piloto revela
quartos?
24. Uma rede de hotéis quer desenvolver um intervalo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quantas noites a rede de hotéis deve incluir na amostra para ter 99% de confiança sobre o número médio de quartos ocupados por noite. Para isso, vamos usar o conceito de intervalo de confiança e tamanho da amostra. Precisamos saber o desvio padrão da amostra piloto, que é
, e a margem de erro que é de 50 quartos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa dentro da qual esperamos que a média verdadeira esteja, com um certo nível de confiança. No caso, queremos 99% de confiança. Para calcular o tamanho da amostra necessário para atingir essa confiança com a margem de erro desejada, usamos a fórmula:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
- $ z $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
- $ s $ é o desvio padrão da amostra piloto.
- $ E $ é a margem de erro tolerada.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de $ z $ para um intervalo de confiança de 99%. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão e corresponde a quantos desvios padrão precisamos para cobrir 99% dos casos. Para 99% de confiança, o valor de $ z $ é aproximadamente 2,576.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
- $ z = 2,576 $
- $ s = 165 $
- $ E = 50 $
Então:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
-
Multiplicamos $ z $ por $ s $:
-
Dividimos o resultado pela margem de erro $ E $:
-
Elevamos ao quadrado para obter o tamanho da amostra:
Como não podemos ter uma fração de noite, arredondamos para cima.
Resposta
A rede de hotéis deve incluir 73 noites na amostra para obter um intervalo de confiança de 99% com uma margem de erro de 50 quartos.