Exercícios da Seção
24. Uma rede de hotéis quer desenvolver um intervalo de 99 % de confiança para o número médio de quartos ocupados por noite em todas as unidades espalhadas pelo país. Quantas noites devem ser incluidas na amostra se um erro de 50 quartos pode ser tolerado e a amostra piloto revela s=165 quartos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quantas noites a rede de hotéis deve incluir na amostra para ter 99% de confiança sobre o número médio de quartos ocupados por noite. Para isso, vamos usar o conceito de intervalo de confiança e tamanho da amostra. Precisamos saber o desvio padrão da amostra piloto, que é s = 165, e a margem de erro que é de 50 quartos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa dentro da qual esperamos que a média verdadeira esteja, com um certo nível de confiança. No caso, queremos 99% de confiança. Para calcular o tamanho da amostra necessário para atingir essa confiança com a margem de erro desejada, usamos a fórmula:
n = ( z times sE )^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • $ z $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • $ s $ é o desvio padrão da amostra piloto.
  • $ E $ é a margem de erro tolerada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de $ z $ para um intervalo de confiança de 99%. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão e corresponde a quantos desvios padrão precisamos para cobrir 99% dos casos. Para 99% de confiança, o valor de $ z $ é aproximadamente 2,576.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
  • $ z = 2,576 $
  • $ s = 165 $
  • $ E = 50 $
Então:
z = 2,576

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicamos $ z $ por $ s $:
    z
  2. Dividimos o resultado pela margem de erro $ E $:
    s
  3. Elevamos ao quadrado para obter o tamanho da amostra:
    2,576 times 165 = 424,24
Como não podemos ter uma fração de noite, arredondamos para cima.

Resposta

A rede de hotéis deve incluir 73 noites na amostra para obter um intervalo de confiança de 99% com uma margem de erro de 50 quartos.

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