Exiba uma base para cada um dos subespaços de R^4 listados a seguir:
l F=(x1, x2, x3, x4) ; x1=x2=x3=x4 G=(x1, x2, x3, x4) ; x1=x2 e x3=x-4 H=(x1, x2, x3, x-4) ; x1=x2=x3 K=(x1, x2, x3, x4) ; x-1+x2+x3+x4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para cada um dos subespaços de que foram listados: , , e . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que define cada subespaço e então encontrar vetores que gerem esses espaços de forma independente.

Passo 2

Vamos começar com o subespaço F = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 = x2 = x3 = x4 . Ele é definido por:
Isso significa que todos os componentes do vetor são iguais. Então, podemos representar qualquer vetor de como , onde é um número real.
Para encontrar uma base, buscamos vetores que possam gerar todos esses vetores e que sejam linearmente independentes. Aqui, percebemos que basta um vetor para gerar .

Passo 3

O vetor que gera 1 1 1 1 é . Qualquer múltiplo desse vetor vai dar um vetor em . Então, a base para é:

Passo 4

Agora, vamos para o subespaço G = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 = x2 e x3 = x4 :
Aqui, temos duas condições: e . Podemos reescrever os vetores de como , onde e são números reais.
Para formar uma base, precisamos de vetores que permitam gerar qualquer vetor desse formato sem serem múltiplos uns dos outros.

Passo 5

Os vetores que servem são 1 1 0 0, 0 0 1 1 e . Assim, a base para é:

Passo 6

Vamos para o subespaço H = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 = x2 = x3 :
Aqui, os três primeiros componentes são iguais, mas não há restrição sobre . Podemos expressar os vetores de como , onde e são reais.
Para a base, precisamos de vetores que permitam variar e independentemente.

Passo 7

Os vetores são 1 1 1 0, 0 0 0 1 e . Assim, a base para é:

Passo 8

Por fim, vamos ao subespaço K = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 + x2 + x3 + x4 = 0 :
Essa é uma equação linear que relaciona os componentes do vetor. Podemos resolver para um dos componentes, por exemplo, . Assim, os vetores de podem ser escritos como , onde , e são reais.
Para a base, precisamos de vetores que permitam variar , e independentemente.

Passo 9

Os vetores que formam a base são 1 0 0 -1, 0 1 0 -1, 0 0 1 -1 , e . Então, a base para é:

Resposta

As bases para os subespaços de & Base de F: 1 1 1 1 & Base de G: 1 1 0 0, 0 0 1 1 & Base de H: 1 1 1 0, 0 0 0 1 & Base de K: 1 0 0 -1, 0 1 0 -1, 0 0 1 -1 são:

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