Exiba uma base para cada um dos subespaços de listados a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para cada um dos subespaços de que foram listados: , , e . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que define cada subespaço e então encontrar vetores que gerem esses espaços de forma independente.
Passo 2
Vamos começar com o subespaço . Ele é definido por:
Isso significa que todos os componentes do vetor são iguais. Então, podemos representar qualquer vetor de como , onde é um número real.
Para encontrar uma base, buscamos vetores que possam gerar todos esses vetores e que sejam linearmente independentes. Aqui, percebemos que basta um vetor para gerar .
Passo 3
O vetor que gera é . Qualquer múltiplo desse vetor vai dar um vetor em . Então, a base para é:
Passo 4
Agora, vamos para o subespaço G = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 = x2 e x3 = x4 :
Aqui, temos duas condições: e . Podemos reescrever os vetores de como , onde e são números reais.
Para formar uma base, precisamos de vetores que permitam gerar qualquer vetor desse formato sem serem múltiplos uns dos outros.
Passo 5
Os vetores que servem são 1 1 0 0, 0 0 1 1 e . Assim, a base para é:
Passo 6
Vamos para o subespaço H = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 = x2 = x3 :
Aqui, os três primeiros componentes são iguais, mas não há restrição sobre . Podemos expressar os vetores de como , onde e são reais.
Para a base, precisamos de vetores que permitam variar e independentemente.
Passo 7
Os vetores são 1 1 1 0, 0 0 0 1 e . Assim, a base para é:
Passo 8
Por fim, vamos ao subespaço K = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 + x2 + x3 + x4 = 0 :
Essa é uma equação linear que relaciona os componentes do vetor. Podemos resolver para um dos componentes, por exemplo, . Assim, os vetores de podem ser escritos como , onde , e são reais.
Para a base, precisamos de vetores que permitam variar , e independentemente.
Passo 9
Os vetores que formam a base são 1 0 0 -1, 0 1 0 -1, 0 0 1 -1 , e . Então, a base para é:
Resposta
As bases para os subespaços de & Base de F: 1 1 1 1 & Base de G: 1 1 0 0, 0 0 1 1 & Base de H: 1 1 1 0, 0 0 0 1 & Base de K: 1 0 0 -1, 0 1 0 -1, 0 0 1 -1 são: