Seja . Se é uma base de e é uma base de , prove que é uma base de .
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço vetorial que é a soma direta de dois subespaços e . Também sabemos que é uma base de e é uma base de . Nosso objetivo é provar que a união dessas duas bases, , forma uma base de . Para isso, vamos precisar dos conceitos de base de um espaço vetorial, soma direta de subespaços, e as propriedades de linearidade e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja, e .
Passo 3
Como é uma base de , todo vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores de , e os vetores de são linearmente independentes. O mesmo vale para em .
Passo 4
Vamos agora considerar a união . Precisamos mostrar que esse conjunto gera e que é linearmente independente.
Passo 5
Primeiro, vamos verificar se gera . Como qualquer vetor em pode ser escrito como , com e , então pode ser escrito como combinação linear dos vetores de e como combinação linear dos vetores de . Assim, pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .
Passo 6
Agora, vamos verificar a independência linear de . Suponha que uma combinação linear dos vetores de resulte no vetor zero:
Como , a decomposição é única, então temos que e .
Passo 7
Como os vetores de são linearmente independentes em , segue que todas as . Analogamente, os vetores de são linearmente independentes em , então todas as .