Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá três equações com três incógnitas (x, y e z). Vamos usar os métodos de eliminação e eliminação total para encontrar os valores dessas variáveis. Para isso, precisamos manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez até chegar às soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a visualização:
2y + x - 2z = -1 (1) 2 - 2x - y + z = 1 (2) 2z + x = 3 (3)
Vamos reorganizar a equação (2) para deixar as variáveis em ordem:
-2x - y + z = -1 (2)
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar uma variável de duas das equações para reduzir o sistema. Vamos tentar eliminar o x primeiro. Olhando para as equações (1), (2) e (3), vemos que a equação (3) tem apenas x e z, então vamos usar ela junto com as outras.
Primeiro, da equação (1):
2y + x - 2z = -1 (1)
Da equação (3):
x + 2z = 3 (3)
Podemos resolver a equação (3) para x:
x = 3 - 2z (3a)
Passo 4
Agora, vamos substituir o valor de x da equação (3a) na equação (1):
2y + (3 - 2z) - 2z = -1
Simplificando:
2y + 3 - 4z = -1
Vamos isolar y:
2y = -1 - 3 + 4z
2y = -4 + 4z
y = -2 + 2z (1a)
Passo 5
Agora temos expressões para x e y em termos de z:
x = 3 - 2z (3a)
y = -2 + 2z (1a)
Vamos substituir essas expressões na equação (2) para encontrar o valor de z.
A equação (2) reorganizada é:
-2x - y + z = -1
Substituindo x e y:
-2(3 - 2z) - (-2 + 2z) + z = -1
Simplificando:
-6 + 4z + 2 - 2z + z = -1
(-6 + 2) + (4z - 2z + z) = -1
-4 + 3z = -1
Passo 6
Agora, vamos resolver para z:
3z = -1 + 4
3z = 3
z = 1
Passo 7
Com z encontrado, podemos substituir de volta para achar x e y.