Existe um grafo simples cujo número de arestas é duas vezes o número de vértices?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A questão fala sobre grafos simples e quer saber se existe um grafo onde o número de arestas é duas vezes o número de vértices. Aqui, vamos precisar saber um pouco sobre teoria dos grafos, especificamente sobre a relação entre vértices e arestas em grafos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um grafo simples, não temos laços (uma aresta ligada no mesmo vértice) nem múltiplas arestas entre os mesmos dois vértices. O número máximo de arestas que um grafo simples pode ter com $ n $ vértices é dado pela fórmula:
Isso porque cada vértice pode se conectar com $ n - 1 $ outros vértices, mas como cada aresta conecta dois vértices, dividimos por 2 para não contar duas vezes a mesma aresta.
Passo 3
A questão quer saber se existe um grafo onde o número de arestas ($ E
V $). Ou seja, queremos que:
Agora, vamos comparar isso com o número máximo de arestas que um grafo simples pode ter:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ V $ que satisfazem a condição:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Expandindo o lado direito:
Levando todos os termos para um lado da inequação:
Passo 5
Agora, fatorando a inequação:
Isso significa que o produto $ V(V - 5) $ deve ser maior ou igual a zero. Vamos analisar os intervalos:
- Quando $ V \geq 5 $: Ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
- Quando $ V < 0 $: Não temos vértices negativos, então desconsideramos.
- Entre 0 e 5: O produto é negativo, então não satisfaz a condição.
Passo 6
Portanto, a condição $ E = 2V $ só é possível se $ V \geq 5 $. Vamos verificar com $ V = 5 $:
Isso significa que para $ V = 5 $, o grafo completo $ K_5 $ satisfaz a condição. Para valores maiores de $ V $, como $ V = 6 $:
Como $ 12 \leq 15 $, também é possível.
Resposta
Sim, existe um grafo simples onde o número de arestas é duas vezes o número de vértices, desde que o número de vértices seja igual ou maior que 5.