Existe um método de alongamento que favorece o crescimento do corpo. Considere 5 pacientes que passaram por este método. Abaixo, temos a tabela de suas alturas antes do tratamento (Y) e depois do tratamento (X). Construa um intervalo de confiança com nível de 95 % para a diferença das médias populacionais dos pacientes que passaram pelo método.
X 1,68 1,70 1,65 1,60 1,62
Y 1,62 1,65 1,60 1,54 1,59

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com as alturas de 5 pacientes antes (Y) e depois (X) de um método de alongamento. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas desses pacientes antes e depois do tratamento. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente de intervalos de confiança para médias emparelhadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender nossos dados. Temos as alturas antes do tratamento (Y) e depois do tratamento (X) para 5 pacientes:
Paciente X (depois) Y (antes)
1 1,68 1,62
2 1,70 1,65
3 1,65 1,60
4 1,60 1,54
5 1,62 1,59
Nosso foco é a diferença entre X e Y para cada paciente, que mostra o quanto a altura aumentou ou diminuiu após o tratamento.

Passo 3

Vamos calcular a diferença (D) entre as alturas depois e antes do tratamento para cada paciente:
  • D₁ = X₁ - Y₁ = 1,68 - 1,62 = 0,06
  • D₂ = X₂ - Y₂ = 1,70 - 1,65 = 0,05
  • D₃ = X₃ - Y₃ = 1,65 - 1,60 = 0,05
  • D₄ = X₄ - Y₄ = 1,60 - 1,54 = 0,06
  • D₅ = X₅ - Y₅ = 1,62 - 1,59 = 0,03
Então, as diferenças são: 0,06; 0,05; 0,05; 0,06; 0,03.

Passo 4

Agora, vamos calcular a média dessas diferenças (D̄):
barD = D₁ + D₂ + D₃ + D₄ + D₅n = 0,06 + 0,05 + 0,05 + 0,06 + 0,035 = 0,255 = 0,05
Então, a média das diferenças é 0,05 metros.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o desvio padrão das diferenças. Primeiro, calculamos cada (Dᵢ - D̄)²:
  • (0,06 - 0,05)² = (0,01)² = 0,0001
  • (0,05 - 0,05)² = (0,00)² = 0,0000
  • (0,05 - 0,05)² = (0,00)² = 0,0000
  • (0,06 - 0,05)² = (0,01)² = 0,0001
  • (0,03 - 0,05)² = (-0,02)² = 0,0004
Somando esses valores:
0,0001 + 0,0000 + 0,0000 + 0,0001 + 0,0004 = 0,0006
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos 1 (n - 1 = 4):
sD² = 0,00064 = 0,00015 ²
O desvio padrão das diferenças (s_D) é a raiz quadrada disso:
sD = raiz0,00015 approx 0,0122

Passo 6

Agora, queremos construir um intervalo de confiança de 95% para a média das diferenças. Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média com distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (n = 5):
barD pm talpha/2, , df cdot sDraizn
Onde:
  • é a média das diferenças (0,05)
  • é o valor crítico da distribuição t para 95% de confiança e 4 graus de liberdade (df = n - 1)
  • é o desvio padrão das diferenças (0,0122)
  • é o tamanho da amostra (5)

Passo 7

Vamos encontrar o valor crítico sDraizn = 0,0122raiz5 approx 0,01222,236 approx 0,0055 na tabela t de Student. Para um intervalo de 95% e 4 graus de liberdade, o valor é aproximadamente 2,776.
Agora, calculamos o erro padrão da média:
2,776 times 0,0055 approx 0,0152
Multiplicando pelo valor t:

Passo 8

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
0,05 pm 0,0152
Isso significa que:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas antes e depois do tratamento é aproximadamente de 0,0348 metros a 0,0652 metros.

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