Existe um método de alongamento que favorece o crescimento do corpo. Considere 5 pacientes que passaram por este método. Abaixo, temos a tabela de suas alturas antes do tratamento (Y) e depois do tratamento (X). Construa um intervalo de confiança com nível de
para a diferença das médias populacionais dos pacientes que passaram pelo método.
X | 1,68 | 1,70 | 1,65 | 1,60 | 1,62 |
---|---|---|---|---|---|
Y | 1,62 | 1,65 | 1,60 | 1,54 | 1,59 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com as alturas de 5 pacientes antes (Y) e depois (X) de um método de alongamento. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas desses pacientes antes e depois do tratamento. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente de intervalos de confiança para médias emparelhadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender nossos dados. Temos as alturas antes do tratamento (Y) e depois do tratamento (X) para 5 pacientes:
Paciente | X (depois) | Y (antes) |
---|---|---|
1 | 1,68 | 1,62 |
2 | 1,70 | 1,65 |
3 | 1,65 | 1,60 |
4 | 1,60 | 1,54 |
5 | 1,62 | 1,59 |
Nosso foco é a diferença entre X e Y para cada paciente, que mostra o quanto a altura aumentou ou diminuiu após o tratamento.
Passo 3
Vamos calcular a diferença (D) entre as alturas depois e antes do tratamento para cada paciente:
- D₁ = X₁ - Y₁ = 1,68 - 1,62 = 0,06
- D₂ = X₂ - Y₂ = 1,70 - 1,65 = 0,05
- D₃ = X₃ - Y₃ = 1,65 - 1,60 = 0,05
- D₄ = X₄ - Y₄ = 1,60 - 1,54 = 0,06
- D₅ = X₅ - Y₅ = 1,62 - 1,59 = 0,03
Então, as diferenças são: 0,06; 0,05; 0,05; 0,06; 0,03.
Passo 4
Agora, vamos calcular a média dessas diferenças (D̄):
Então, a média das diferenças é 0,05 metros.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o desvio padrão das diferenças. Primeiro, calculamos cada (Dᵢ - D̄)²:
- (0,06 - 0,05)² = (0,01)² = 0,0001
- (0,05 - 0,05)² = (0,00)² = 0,0000
- (0,05 - 0,05)² = (0,00)² = 0,0000
- (0,06 - 0,05)² = (0,01)² = 0,0001
- (0,03 - 0,05)² = (-0,02)² = 0,0004
Somando esses valores:
0,0001 + 0,0000 + 0,0000 + 0,0001 + 0,0004 = 0,0006
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos 1 (n - 1 = 4):
O desvio padrão das diferenças (s_D) é a raiz quadrada disso:
Passo 6
Agora, queremos construir um intervalo de confiança de 95% para a média das diferenças. Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média com distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (n = 5):
Onde:
-
é a média das diferenças (0,05) -
é o valor crítico da distribuição t para 95% de confiança e 4 graus de liberdade (df = n - 1) -
é o desvio padrão das diferenças (0,0122) -
é o tamanho da amostra (5)
Passo 7
Vamos encontrar o valor crítico
na tabela t de Student. Para um intervalo de 95% e 4 graus de liberdade, o valor é aproximadamente 2,776.
Agora, calculamos o erro padrão da média:
Multiplicando pelo valor t:
Passo 8
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
Isso significa que:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas antes e depois do tratamento é aproximadamente de 0,0348 metros a 0,0652 metros.
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